Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, если биссектриса острого угла A делит сторону BC на отрезки

Rys_3728

5

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах треугольников и окружностей. Давайте рассмотрим ее по шагам:

Шаг 1: Рисуем треугольник ABC и обозначаем данные.
Представим треугольник ABC, где сторона BC делится биссектрисой угла A на два отрезка, длина каждого из которых равна 2. Обозначим точку, в которой биссектриса пересекает сторону BC, как точку D. Обозначим радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, как R, и радиус вписанной в треугольник окружности как r.

Шаг 2: Находим площадь треугольника ABC.
Используя формулу площади треугольника через биссектрису, мы можем выразить площадь треугольника ABC следующим образом:
\[S_{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]
где s - полупериметр треугольника ABC, a, b, c - его стороны.

Так как мы знаем, что длина двух отрезков на стороне BC равна 2, мы можем сделать следующие выводы:
BD = 2 и DC = 2.

Для удобства обозначим длины сторон треугольника ABC как a, b, c, а полупериметр как s:
a = BC, b = AC, c = AB
s = (a + b + c)/2

Теперь мы можем выразить площадь треугольника ABC через длины его сторон:
\[S_{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

Шаг 3: Используем формулу радиуса окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, можно найти, используя формулу:
\[R = \frac{abc}{4S_{ABC}}\]

Теперь, когда у нас есть формулы для площади треугольника и радиуса окружности, описанной вокруг него, давайте приступим к вычислениям.

Шаг 4: Вычисляем площадь треугольника ABC.
Мы уже знаем, что BD = DC = 2. Так как биссектриса делит сторону BC на два равных отрезка и пересекает ее в точке D, мы можем сделать вывод, что BC = BD + DC = 2 + 2 = 4.

Теперь мы имеем следующие данные:
a = BC = 4, b = AC, c = AB
s = (a + b + c)/2 = (4 + b + c)/2

Шаг 5: Решаем уравнение для площади треугольника ABC.
Мы знаем, что площадь треугольника равна \[S_{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]. Подставляем известные значения:
\[S_{ABC} = \sqrt{s(s-4)(s-b)(s-c)}\]

Шаг 6: Упрощаем уравнение для площади треугольника ABC.
Мы можем продолжить упрощать уравнение, замечая, что s = (4 + b + c)/2:
\[S_{ABC} = \sqrt{\frac{(4+b+c)(-b+c)(b-c)}{4}}\]
\[S_{ABC} = \sqrt{\frac{(4c - 4b + b^2 - c^2)}{4}}\]
\[S_{ABC} = \sqrt{\frac{(b^2 - 4b + c^2 - 4c)}{4}}\]

Шаг 7: Находим радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Мы уже знаем, что радиус окружности задается формулой \[R = \frac{abc}{4S_{ABC}}\]. Подставляем известные значения:
\[R = \frac{4bc}{4S_{ABC}}\]
\[R = \frac{bc} {S_{ABC}}\]
\[R = \frac{bc}{\sqrt{\frac{(b^2 - 4b + c^2 - 4c)}{4}}}\]

Шаг 8: Упрощаем уравнение для радиуса окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Мы можем упростить уравнение, разделив числитель и знаменатель на 4:
\[R = \frac{bc}{\sqrt{\frac{(b^2 - 4b + c^2 - 4c)}{4}}} = \frac{bc}{\sqrt{b^2 - 4b + c^2 - 4c}}\]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен \(\frac{bc}{\sqrt{b^2 - 4b + c^2 - 4c}}\), где b и c - длины двух отрезков на стороне BC, равных 2.