Какова площадь полной поверхности конуса, если его образующая равна 4 корня из 2 см и он наклонен к плоскости основания

Таинственный_Оракул

33

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно, чтобы ответ был понятен.
Для начала, давайте вспомним формулу для площади полной поверхности конуса. Формула выглядит следующим образом:
\[S = \pi r (r + l),\]
где \(S\) - площадь полной поверхности конуса, \(\pi\) - математическая константа, равная приблизительно 3.14,
\(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - длина образующей конуса.

В задаче дано, что образующая конуса равна 4 корня из 2 см, а конус наклонен к плоскости основания под углом 45 градусов.
Для нахождения радиуса основания \(r\) нам необходимо использовать тригонометрические соотношения.
Из задачи известно, что \(\cos 45^\circ = \frac{r}{l}\).
Мы можем найти значение \(\cos 45^\circ\) в таблице тригонометрических значений или воспользоваться калькулятором, и получим:
\(\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Теперь мы можем найти радиус основания \(r\).
Умножим обе части уравнения на длину образующей \(l\), чтобы избавиться от деления:
\(r = l \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Подставим данное значение радиуса \(r\) в формулу для площади полной поверхности конуса:
\[S = \pi \cdot (l \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) \cdot (l + l).\]

Для удобства упростим выражение:
\[S = \pi \cdot l \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2l.\]

Мы можем умножить коэффициенты \(\pi\) и \(2\) для упрощения:
\[S = 2\pi \cdot l^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}.\]

Наконец, подставим значение длины образующей \(l\), которое равно 4 корня из 2 см:
\[S = 2\pi \cdot (4 \sqrt{2})^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}.\]

Упростим выражение:
\[S = 2\pi \cdot 32 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}.\]

Таким образом, поверхность конуса равна:
\[S = 64\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 90.5 \, \text{см}^2.\]

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна примерно 90.5 см².