Каков радиус окружности, описывающей данный прямоугольный треугольник, если медиана, проведённая из вершины прямого

Лизонька_6288

18

Чтобы найти радиус окружности, описывающей данный прямоугольный треугольник, мы можем использовать свойство окружности, у которой центр находится на медиане треугольника и проходит через прямой угол.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, является его половиной гипотенузы. Давайте обозначим эту медиану как \(m\), а радиус окружности как \(r\).

Половину гипотенузы можно найти, используя теорему Пифагора. Если катеты треугольника равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза равна \(c\), то у нас есть соотношение:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Так как у нас прямоугольный треугольник, то один катет равен нулю, и мы можем записать:

\[c^2 = 0^2 + b^2\]
\[c^2 = b^2\]

Теперь мы знаем, что гипотенуза равна \(b\), и медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому:

\[m = \frac{b}{2}\]

Мы также знаем, что радиус окружности, описывающей данный треугольник, является расстоянием от центра окружности до любой его точки, в данном случае, от центра до вершины прямого угла. Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, а также половине диаметра окружности. Поэтому:

\[r = \frac{m}{2}\]

Теперь мы можем подставить значение \(m\) из предыдущего шага в это уравнение и найти значение радиуса \(r\):

\[r = \frac{\frac{b}{2}}{2} = \frac{b}{4}\]

Итак, радиус окружности, описывающей данный прямоугольный треугольник, равен \(\frac{b}{4}\).