Каков радиус орбиты спутника Миранда вокруг планеты Уран, учитывая массу планеты 8,7 * 10^25 кг и скорость спутника

Tropik

1

Чтобы найти радиус орбиты спутника Миранда вокруг планеты Уран, мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона.

Закон всемирного тяготения утверждает, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Мы знаем массу планеты Уран (8,7 * 10^25 кг) и скорость спутника (6,7 км/с), но нам необходимо больше информации, чтобы найти радиус орбиты Миранды. В конкретном случае, нам нужно знать период обращения Миранды вокруг Урана.

Чтобы найти период обращения Миранды, можно использовать третий закон Кеплера. В соответствии с этим законом, квадрат периода обращения спутника вокруг планеты пропорционален третьей степени большой полуоси орбиты.

Для нашей задачи, предположим, что орбита Миранды является круговой, так как в задании не указано обратное. Таким образом, радиус орбиты будет одним и тем же как для радиуса, так и для большей полуоси орбиты.

Теперь давайте воспользуемся формулами:

\[ T^2 = \frac{{4 \pi^2 r^3}}{{G M}} \]
где \( T \) - период обращения спутника, \( r \) - радиус орбиты, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты Уран.

Также нам понадобится выразить скорость спутника через период обращения и радиус орбиты:

\[ v = \frac{{2 \pi r}}{T} \]

Теперь у нас есть два уравнения, которые мы можем использовать для нахождения радиуса орбиты. Подставим выражение для скорости в первое уравнение:

\[ T^2 = \frac{{4 \pi^2 r^3}}{{G M}} \]
\[ T^2 = \frac{{4 \pi^2 r^3}}{{G M}} \left(\frac{{2 \pi r}}{v}\right)^2 \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( r \):

\[ r^3 = \frac{{G M v^2}}{{4 \pi^2}} \]
\[ r = \left(\frac{{G M v^2}}{{4 \pi^2}}\right)^{\frac{1}{3}} \]

Теперь подставим известные значения в формулу:

\[ r = \left(\frac{{6.67430 \times 10^{-11} \frac{{\text{м}^3}}{{\text{кг} \cdot \text{с}^2}} \times (8.7 \times 10^{25} \text{ кг}) \times (6.7 \times 10^3 \text{ м/с})^2}}{{4 \pi^2}}\right)^{\frac{1}{3}} \]

После вычислений получим:

\[ r \approx 1.3 \times 10^6 \text{ м} \]

Таким образом, радиус орбиты спутника Миранда вокруг планеты Уран составляет примерно \( 1.3 \times 10^6 \) метров.