Каков радиус сферы, если два параллельных сечения с площадью 9π см^2 и 16π см^2 проведены по разные стороны от центра

Ариана

28

Давайте начнем с разбора задачи. У нас есть два параллельных сечения с площадями 9π см^2 и 16π см^2. Сечения проведены по разные стороны от центра сферы, а расстояние между ними неизвестно. Пусть это расстояние составляет \(d\) см.

Мы знаем, что площадь сечений сферы пропорциональна квадрату радиуса. То есть, если радиус сферы равен \(R\), то отношение площадей сечений будет равно отношению квадратов радиусов.

Для первого сечения с площадью 9π см^2, отношение квадратов радиусов будет следующим:

\[(\frac{R}{d})^2 = \frac{9π}{16π}\]

Мы можем сократить на \(π\) и получить:

\[(\frac{R}{d})^2 = \frac{9}{16}\]

Теперь найдем отношение квадратов радиусов для второго сечения. По аналогии с первым сечением, получаем:

\[(\frac{R}{d})^2 = \frac{16}{9}\]

Так как в обоих случаях отношение квадратов радиусов равно, мы можем приравнять их:

\[\frac{9}{16} = \frac{16}{9}\]

Теперь решим это уравнение относительно радиуса. Для этого применим квадратный корень ко всему уравнению:

\[\frac{R}{d} = \sqrt{\frac{9}{16}}\]

Упрощаем выражение под корнем:

\[\frac{R}{d} = \frac{3}{4}\]

Теперь умножим обе части уравнения на \(d\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[R = \frac{3}{4}d\]

Итак, радиус сферы равен \(\frac{3}{4}\) от расстояния между сечениями.