Каков радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, если точка касания ее с гипотенузой делит ее на отрезки
Каков радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, если точка касания ее с гипотенузой делит ее на отрезки длиной 4 см и 21 см, а периметр треугольника равен 56 см?
Кузнец_1807 53
Давайте решим задачу о радиусе вписанной окружности в прямоугольном треугольнике.Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник, гипотенуза AC является диаметром вписанной окружности, а точка касания этой окружности с гипотенузой обозначена как D. Длина отрезка AD равна 4 см, а длина отрезка DC равна 21 см.
Чтобы решить задачу, воспользуемся свойством вписанной окружности, которое гласит: "Длина отрезка, проведенного из вершины треугольника к точке касания с окружностью, равна произведению отрезков, на которые точка касания делит сторону треугольника".
Исходя из этого свойства:
AD * DC = BD * CD, где BD - это одна часть гипотенузы, а CD - другая часть гипотенузы.
Заметим, что сумма длин отрезков AD и DC должна быть равна длине гипотенузы AC, что равно 25 см.
То есть AD + DC = AC = 25 см.
Теперь, применим полученное равенство и подставим известные значения.
Получим:
4 см * 21 см = BD * (25 см - BD).
Упростим это уравнение:
84 см² = BD * (25 см - BD).
Разложим это уравнение на множители:
84 см² = BD * (25 см) - BD².
Приведем его к квадратному виду:
BD² - 25 см * BD + 84 см² = 0.
Решим это квадратное уравнение.
Можем использовать формулу дискриминанта:
D = b² - 4ac
Для этого уравнения: a = 1, b = -25, c = 84.
Подставим значения в формулу дискриминанта:
D = (-25)² - 4 * 1 * 84 = 625 - 336 = 289.
Так как дискриминант положительный, то у уравнения есть два корня:
BD₁ = (-b + √D) / 2a,
BD₂ = (-b - √D) / 2a.
Подставим значения в формулу и найдем два значения BD.
BD₁ = (-(-25) + √289) / (2 * 1) = (25 + 17) / 2 = 42 / 2 = 21.
BD₂ = (-(-25) - √289) / (2 * 1) = (25 - 17) / 2 = 8 / 2 = 4.
Таким образом, получили два значения для BD - 21 см и 4 см. Радиус вписанной окружности будет соответствовать половине длины BD.
Тогда радиус вписанной окружности будет:
R₁ = BD₁ / 2 = 21 / 2 = 10.5 см.
R₂ = BD₂ / 2 = 4 / 2 = 2 см.
В ответе будет два значения радиуса вписанной окружности: 10.5 см и 2 см.