Каков результат разложения бинома C06+C16⋅3+C26⋅32+C36⋅33+C46⋅34+C56⋅35+C66⋅36 на отдельные элементы? Ответ

Янтарка

13

Для решения данной задачи рассмотрим разложение бинома \((a+b)^6\) согласно биномиальной теореме.

Согласно формуле биномиального разложения, мы можем записать:

\((a+b)^6 = C^0_6 \cdot a^6 \cdot b^0 + C^1_6 \cdot a^5 \cdot b^1 + C^2_6 \cdot a^4 \cdot b^2 + C^3_6 \cdot a^3 \cdot b^3 + C^4_6 \cdot a^2 \cdot b^4 + C^5_6 \cdot a^1 \cdot b^5 + C^6_6 \cdot a^0 \cdot b^6\)

где \(C^k_n\) - это число сочетаний из \(n\) по \(k\).

Теперь разложим каждый элемент по отдельности:

\(C^0_6 \cdot a^6 \cdot b^0 = 1 \cdot a^6 \cdot b^0 = a^6 \cdot b^0\)

\(C^1_6 \cdot a^5 \cdot b^1 = 6 \cdot a^5 \cdot b^1 = 6a^5b^1\)

\(C^2_6 \cdot a^4 \cdot b^2 = 15 \cdot a^4 \cdot b^2 = 15a^4b^2\)

\(C^3_6 \cdot a^3 \cdot b^3 = 20 \cdot a^3 \cdot b^3 = 20a^3b^3\)

\(C^4_6 \cdot a^2 \cdot b^4 = 15 \cdot a^2 \cdot b^4 = 15a^2b^4\)

\(C^5_6 \cdot a^1 \cdot b^5 = 6 \cdot a^1 \cdot b^5 = 6ab^5\)

\(C^6_6 \cdot a^0 \cdot b^6 = 1 \cdot a^0 \cdot b^6 = b^6\)

Таким образом, результатом разложения бинома \(C^0_6 + C^1_6 \cdot 3 + C^2_6 \cdot 32 + C^3_6 \cdot 33 + C^4_6 \cdot 34 + C^5_6 \cdot 35 + C^6_6 \cdot 36\) на отдельные элементы будет:

\(a^6 \cdot b^0 + 6a^5b^1 + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6\)

Где \(a\) и \(b\) - переменные, а \(C^k_n\) - коэффициенты сочетания, определяемые числом сочетаний из \(n\) по \(k\).