Какова вероятность наступления события А при выполнении опыта пять раз, если при однократном осуществлении

Morozhenoe_Vampir

36

Для решения данной задачи нам необходимо учитывать вероятность наступления события \(A\) при каждом из пяти испытаний.

Пусть вероятность события \(A\) при однократном испытании равна \(P(A) = \frac{2}{3}\). Тогда вероятность не наступления события \(A\) при однократном испытании будет \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

Теперь мы можем использовать формулу биномиального распределения для нахождения вероятности наступления события \(A\) ровно \(k\) раз из \(n\) испытаний:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot P(A)^k \cdot P(\overline{A})^{n-k}\]

где \(C_n^k\) - число сочетаний из \(n\) по \(k\).

В данном случае \(n = 5\) (пять испытаний) и мы ищем вероятность того, что событие \(A\) наступит ровно \(k = 1, 2, 3, 4\) или \(5\) раз.

Давайте вычислим вероятность для каждого значения \(k\) и соберем все результаты вместе:

- Для \(k = 1\):

\[P(X = 1) = C_5^1 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4\]

- Для \(k = 2\):

\[P(X = 2) = C_5^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3\]

- Для \(k = 3\):

\[P(X = 3) = C_5^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2\]

- Для \(k = 4\):

\[P(X = 4) = C_5^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^1\]

- Для \(k = 5\):

\[P(X = 5) = C_5^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^0\]

После вычисления всех этих значений мы сможем найти общую вероятность наступления события \(A\) ровно \(k\) раз из пяти испытаний, добавив эти вероятности вместе.

Подсчитаем все это и найдем окончательный ответ.