Каков результат сложения двух рациональных дробей y-7/y²-8y+7 и x+2/xy+2y-x-2?

Marat

20

Для решения этой задачи, нам необходимо сложить две рациональные дроби:

\[\frac{y-7}{y^2-8y+7} + \frac{x+2}{xy+2y-x-2}\]

Для начала, давайте попробуем упростить эти дроби.

Для первой дроби, заметим, что знаменатель \(y^2-8y+7\) является квадратным трехчленом. В данном случае, мы можем факторизовать его для упрощения:

\[y^2-8y+7 = (y-1)(y-7)\]

Теперь наша первая дробь превращается в:

\[\frac{y-7}{(y-1)(y-7)}\]

Заметим, что \(y-7\) сокращается в числителе и знаменателе, поэтому они упрощаются:

\[\frac{1}{y-1}\]

Для второй дроби, мы не можем факторизовать знаменатель дальше, поэтому оставляем его без изменений:

\[\frac{x+2}{xy+2y-x-2}\]

Теперь мы можем приступить к сложению этих двух упрощенных дробей.

Для сложения, мы должны привести дроби к общему знаменателю. В данном случае, общим знаменателем будет \(y-1\cdot(xy+2y-x-2)\). Раскроем скобки:

\[y-1\cdot(xy+2y-x-2) = y(xy+2y-x-2) - (xy+2y-x-2)\]

Продолжим раскрытие скобок:

\[y(xy+2y-x-2) - (xy+2y-x-2) = xy^2+2y^2-xy-2y-yx-2y+x+2 - xy-2y+x+2\]

Многие члены сокращаются:

\[xy^2+2y^2-xy-2y-yx-2y+x+2 - xy-2y+x+2 = xy^2+2y^2-2y^2-x = xy^2-x\]

Теперь получили новую дробь:

\[\frac{xy^2-x}{y-1}\]

Итак, результат сложения данных рациональных дробей равен \(\frac{xy^2-x}{y-1}\)