Каков результат сравнения выражения с нулём: а) (тангенс 30° - синус 60°)(синус 135° - тангенс 135°)?

Pylayuschiy_Drakon

44

Хорошо, давайте посмотрим на данное выражение поэтапно и рассмотрим шаги его решения.

Итак, у нас есть следующее выражение: \((\tan 30^\circ - \sin 60^\circ)(\sin 135^\circ - \tan 135^\circ)\).

Шаг 1: Рассмотрим углы 30^\circ и 60^\circ.
Тангенс 30^\circ и синус 60^\circ имеют конкретные значения, которые известны нам. Если мы посмотрим на таблицу значений тригонометрических функций, то узнаем, что \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Шаг 2: Вычислим первую часть выражения. Подставим значения, полученные на предыдущем шаге.
\((\tan 30^\circ - \sin 60^\circ) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).
В данном случае нам потребуется упростить выражение посредством общего знаменателя. Умножив первое слагаемое на \(\frac{2}{2}\) и второе слагаемое на \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\), получим:
\(\left(\frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)\).

Шаг 3: Рассмотрим углы 135^\circ и 135^\circ.
Значения тангенса и синуса для этих углов также имеют определенные значения. Из таблицы тригонометрических функций мы узнаем, что \(\tan 135^\circ = -1\) и \(\sin 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Шаг 4: Вычислим вторую часть выражения, подставив значения, полученные на предыдущем шаге.
\((\sin 135^\circ - \tan 135^\circ) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\right)\).

Шаг 5: Упростим выражение, как мы делали в шаге 2.
\(\left(\frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\).

Шаг 6: Теперь, когда мы упростили оба слагаемых, умножаем их между собой:
\(\left(\frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right)\).

Шаг 7: Умножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель и упростим выражение.
\(\frac{(2 - \sqrt{3})(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2\sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{6}}\).

Шаг 8: Сгруппируем слагаемые в числителе.
\(\frac{(2\sqrt{2} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - 2\sqrt{3})}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{6}}\).

Шаг 9: Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\), чтобы избавиться от знаменателя.
\(\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{6}}{6}\).

Итак, результат сравнения данного выражения с нулем равен \(\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{6}}{6}\).

Надеюсь, это решение ясно и понятно. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.