Каков результат возведения в степень выражений x+2 и x-4y?

Serdce_Ognya

12

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Возведение в степень - это операция, при которой число или выражение умножается само на себя несколько раз. Для нашей задачи, мы должны возвести в степень два выражения: \(x+2\) и \(x-4y\).

Для начала, давайте рассмотрим выражение \((x+2)^n\), где \(n\) - это степень, в которую мы возводим это выражение. Чтобы получить решение, мы должны раскрыть скобки.

Вот как это можно сделать:
\[(x+2)^n = C_n^0 \cdot x^n \cdot 2^0 + C_n^1 \cdot x^{n-1} \cdot 2^1 + C_n^2 \cdot x^{n-2} \cdot 2^2 + \ldots + C_n^{n-1} \cdot x \cdot 2^{n-1} + C_n^n \cdot 2^n\]

Где \(C_n^k\) - это биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать из \(n\) элементов \(k\) элементов. Например, \(C_3^0 = 1\), \(C_3^1 = 3\), \(C_3^2 = 3\), \(C_3^3 = 1\).

Давайте рассмотрим пример для наглядности. Если мы возведем выражение \((x+2)^2\) в квадрат, то раскрытие скобок будет выглядеть так:
\[(x+2)^2 = C_2^0 \cdot x^2 \cdot 2^0 + C_2^1 \cdot x^1 \cdot 2^1 + C_2^2 \cdot x^0 \cdot 2^2 = x^2 + 2x + 4\]

Теперь применим это к выражению \((x+2)\). Мы хотим узнать результат, когда его возводят в любую степень \(n\).

Таким образом, ответ на эту часть задачи будет следующим:
\[(x+2)^n = C_n^0 \cdot x^n \cdot 2^0 + C_n^1 \cdot x^{n-1} \cdot 2^1 + C_n^2 \cdot x^{n-2} \cdot 2^2 + \ldots + C_n^{n-1} \cdot x \cdot 2^{n-1} + C_n^n \cdot 2^n\]

Теперь давайте рассмотрим выражение \((x-4y)^n\). Аналогично, мы должны раскрыть скобки, чтобы получить результат.

Результат раскрытия скобок будет выглядеть следующим образом:
\[(x-4y)^n = C_n^0 \cdot x^n \cdot (-4y)^0 + C_n^1 \cdot x^{n-1} \cdot (-4y)^1 + C_n^2 \cdot x^{n-2} \cdot (-4y)^2 + \ldots + C_n^{n-1} \cdot x \cdot (-4y)^{n-1} + C_n^n \cdot (-4y)^n\]

Где мы используем тот же подход с биномиальными коэффициентами, как и в предыдущей части задачи.

Таким образом, ответ на задачу о результате возведения в степень выражений \(x+2\) и \(x-4y\) будет:
\[(x+2)^n \cdot (x-4y)^n = (C_n^0 \cdot x^n \cdot 2^0 + C_n^1 \cdot x^{n-1} \cdot 2^1 + C_n^2 \cdot x^{n-2} \cdot 2^2 + \ldots + C_n^{n-1} \cdot x \cdot 2^{n-1} + C_n^n \cdot 2^n) \cdot (C_n^0 \cdot x^n \cdot (-4y)^0 + C_n^1 \cdot x^{n-1} \cdot (-4y)^1 + C_n^2 \cdot x^{n-2} \cdot (-4y)^2 + \ldots + C_n^{n-1} \cdot x \cdot (-4y)^{n-1} + C_n^n \cdot (-4y)^n)\]

Обратите внимание, что это общий результат, который можно применить к любой степени \(n\). Если вам нужен конкретный результат для определенной степени, пожалуйста, уточните, и я дам вам ответ.