Каков результат вычисления следующего интеграла: интеграл от 1 до 2 (3x в квадрате + 2)dx?

Artur

65

Хорошо, я проведу детальные вычисления для данного интеграла.

Для начала, нам нужно взять интеграл от функции \(3x^2 + 2\) по переменной \(x\) на интервале от 1 до 2.

Прежде чем приступить к интегрированию, давайте найдем первообразную функцию для данной функции \(3x^2 + 2\).

Применяем правило для интегрирования многочлена каждого слагаемого по отдельности. Для константы 2 получаем \(2x\) в первообразной.

Затем интегрируем \(3x^2\). Для этого применяем правило для интегрирования монома по отдельности. Получаем \(\frac{3}{3} \cdot x^3 = x^3\) в первообразной.

Теперь найдем значение определенного интеграла, используя найденные первообразные:
\[\int_{1}^{2} (3x^2 + 2)dx = \left[ x^3 + 2x \right]_1^2\]

Подставляем верхний предел интегрирования:
\[\left[ x^3 + 2x \right]_1^2 = (2^3 + 2 \cdot 2)\]

Вычисляем значение суммы:
\[8 + 4 = 12\]

Таким образом, результат вычисления данного интеграла равен 12.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как было получено это значение. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!