2) Определите ограниченность функции y = 3x / (x - 2), где x > 2. 3) Проверьте справедливость функции y = -|x| /

Smurfik

66

Конечно, я могу помочь вам с решением этих задач.

2) Для определения ограниченности функции, мы должны проанализировать ее поведение при изменении значения аргумента. Данная функция задана как \(y = \frac{3x}{x - 2}\), где \(x > 2\).

Возьмем некоторые значения \(x\) и посмотрим, что происходит с функцией \(y\).

a) Когда \(x\) стремится к положительной бесконечности:
При \(x \to +\infty\), \(y\) будет стремиться к положительной бесконечности.

b) Когда \(x\) стремится к отрицательной бесконечности:
При \(x \to -\infty\), \(y\) также будет стремиться к отрицательной бесконечности.

c) Когда \(x\) стремится к 2:
Заданная функция не определена при \(x = 2\), так как в знаменателе будет ноль. Таким образом, функция не определена в этой точке.

Исходя из анализа, можно сделать вывод, что функция \(y = \frac{3x}{x - 2}\) ограничена при \(x > 2\), кроме точки \(x = 2\).

3) Теперь рассмотрим функцию \(y = -\frac{|x|}{2} + x^4\).

a) Проверим справедливость функции при \(x \geq 0\):
Когда \(x\) неотрицательное число, значение модуля будет равно самому числу, поэтому \(|x| = x\).
Тогда функцию можно записать следующим образом: \(y = -\frac{x}{2} + x^4\).
При изменении значения \(x\) от 0 до положительной бесконечности, функция становится всегда больше или равной нулю (нулевая точка достигается при \(x = 0\)). Таким образом, справедливость функции при \(x \geq 0\) подтверждается.

b) Проверим справедливость функции при \(x < 0\):
Когда \(x\) отрицательное число, значение модуля будет равно противоположному числу, поэтому \(|x| = -x\).
Тогда функцию можно записать так: \(y = -\frac{-x}{2} + x^4\).
Упростив выражение, получаем: \(y = \frac{x}{2} + x^4\).
При изменении значения \(x\) от отрицательной бесконечности до 0, функция также становится всегда больше или равной нулю (нулевая точка достигается при \(x = 0\)). Таким образом, справедливость функции при \(x < 0\) подтверждается.

Итак, функция \(y = -\frac{|x|}{2} + x^4\) справедлива для всех вещественных \(x\).