Каков угол ACB в треугольнике ABC, если известно, что AC = 48 см, BC = 36 см, точка D на стороне AB такая

Саранча_9567

21

Для начала, давайте обратимся к теореме синусов, которая нам поможет решить эту задачу. Теорема гласит: "В любом треугольнике отношение длин сторон к синусам противолежащих углов одинаково". Мы можем записать эту теорему следующим образом для нашего треугольника ABC:

\[\frac{AC}{\sin{\angle{BCA}}} = \frac{BC}{\sin{\angle{CAB}}} = \frac{AB}{\sin{\angle{ACB}}}\]

Мы знаем значения сторон AC и BC, поэтому давайте подставим их в уравнение:

\[\frac{48}{\sin{\angle{BCA}}} = \frac{36}{\sin{\angle{CAB}}} = \frac{AB}{\sin{\angle{ACB}}}\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник BCD. У нас есть информация о точке D и углах BDC и ACD. Зная сумму углов BDC и ACD, мы можем выразить угол ACD через угол BDC:

\[\angle{ACD} = 104° - \angle{BDC}\]

Также мы знаем, что отношение AD к DB равно 4:3. Это означает, что отношение длин сторон AD и DB также равно 4:3:

\[\frac{AD}{DB} = \frac{4}{3}\]

Но мы знаем, что AD + DB = AB. Подставим это в уравнение:

\[AD + DB = AB\]
\[4x + 3x = 7x\]
\[7x = AB\]

Теперь у нас есть выражение для стороны AB через x. Зная стороны AC и AB, мы можем выразить сторону AB через x:

\[48 = 7x\]
\[x = \frac{48}{7}\]

Теперь, используя найденное значение x, мы можем найти сторону AB:

\[AB = 7x = 7 \cdot \frac{48}{7} = 48\]

Итак, мы получили, что сторона AB равна 48 см. Теперь мы можем перейти к нахождению угла ACB. Подставим наши известные значения в уравнение теоремы синусов:

\[\frac{48}{\sin{\angle{BCA}}} = \frac{36}{\sin{\angle{CAB}}} = \frac{48}{\sin{\angle{ACB}}}\]

Так как мы ищем угол ACB, давайте выразим его через sin ACB:

\[\sin{\angle{ACB}} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}\]

Теперь найдем сам угол ACB, используя обратную функцию синуса (sin^{-1}):

\[\angle{ACB} = \sin^{-1}{\left(\frac{4}{3}\right)}\]

Подсчитав этот угол, мы получим ответ на нашу задачу.