Як знайти рівняння кола, де точки в(0; 4) і d(0; -4) є кінцями діаметра?

Skvoz_Tuman

37

Для начала, нужно понять, какие данные даны в задаче. В задаче у нас есть две точки \(A(0, 4)\) и \(D(0, -4)\), которые являются концами диаметра окружности.

Для того чтобы найти уравнение окружности, мы можем использовать следующую формулу: \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\), где \((a, b)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

Для начала, нам нужно найти координаты центра окружности. Так как концы диаметра имеют одинаковую абсциссу (x-координату), а именно 0, мы можем сделать вывод, что центр окружности будет лежать на прямой x=0.

Теперь давайте найдем координаты центра окружности. Для этого мы можем найти среднюю точку \(M\) между точками \(A\) и \(D\). Чтобы найти среднюю точку, мы должны взять среднее арифметическое от x-координат и y-координат данных точек.

x-координаты точек \(A\) и \(D\) равны 0, поэтому x-координата центра окружности также будет равна 0.

Аналогично, y-координата центра окружности будет равна среднему арифметическому от y-координат точек \(A\) и \(D\).

Вычислим:

\[
\begin{align*}
y_{\text{центра}} &= \frac{b_{\text{точки од}}} {2} \\
&= \frac{4 + (-4)}{2} \\
&= \frac{0}{2} \\
&= 0
\end{align*}
\]

Таким образом, координаты центра окружности будут \(C(0, 0)\).

Теперь, когда у нас есть координаты центра окружности и одна из точек на ее окружности, мы можем найти радиус окружности. Радиус вычисляется как расстояние между центром окружности и любой точкой на ее окружности. В нашем случае мы можем использовать расстояние между центром окружности \(C(0, 0)\) и точкой \(A(0, 4)\).

Вычислим радиус с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\[
\begin{align*}
r &= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\
&= \sqrt{(0-0)^2 + (4-0)^2} \\
&= \sqrt{0 + 16} \\
&= \sqrt{16} \\
&= 4
\end{align*}
\]

Таким образом, радиус окружности равен 4.

Теперь у нас есть все необходимые данные для построения уравнения окружности. Подставим значения центра и радиуса в общее уравнение окружности:

\[
\begin{align*}
(x-a)^2 + (y-b)^2 &= r^2 \\
(x-0)^2 + (y-0)^2 &= 4^2 \\
x^2 + y^2 &= 16
\end{align*}
\]

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точки \(A(0, 4)\) и \(D(0, -4)\), будет \(x^2 + y^2 = 16\). Это и есть искомое уравнение.