Каков угол между радиус-вектором и вектором скорости частицы в момент времени t1=1c, если частица движется таким

Vaska

18

Для начала, давайте найдем радиус-вектор частицы в момент времени \(t_1 = 1\) секунда. Радиус-вектор (обозначается как \(\vec{r}\)) - это вектор, который указывает от начала координат до местоположения объекта.

Используя данные координаты \(x\) и \(y\) частицы, мы можем записать радиус-вектор в виде:

\[
\vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j}
\]

где \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) - единичные векторы вдоль осей \(x\) и \(y\).

Подставим значения координат в формулу:

\[
\vec{r} = (0,4t + 1) \vec{i} + (0,3t) \vec{j}
\]

Теперь найдем вектор скорости \(\vec{v}\). Вектор скорости - это производная радиус-вектора по времени.

Дифференцируем радиус-вектор \(r\) по времени:

\[
\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}
\]

Поэлементно дифференцируем \(x\) и \(y\) и получаем:

\[
v_x = \frac{dx}{dt} = 0,4 \, \frac{dm}{ds} = 0,4 \, \frac{m}{s}
\]

\[
v_y = \frac{dy}{dt} = 0,3 \, \frac{dm}{ds} = 0,3 \, \frac{m}{s}
\]

Теперь у нас есть вектор скорости \(\vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j}\).

Для того, чтобы найти угол между радиус-вектором и вектором скорости, мы можем использовать скалярное произведение (\(\cdot\)) векторов \(\vec{r}\) и \(\vec{v}\):

\[
\vec{r} \cdot \vec{v} = |\vec{r}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta)
\]

где \(|\vec{r}|\) и \(|\vec{v}|\) - длины векторов \(\vec{r}\) и \(\vec{v}\), соответственно, а \(\theta\) - угол между векторами.

Заметим, что радиус-вектор \(\vec{r}\) и вектор скорости \(\vec{v}\) имеют только компоненты по осям \(x\) и \(y\), то есть они лежат в плоскости \(xy\). Это значит, что их скалярное произведение можно вычислить, как произведение соответствующих компонент:

\[
\vec{r} \cdot \vec{v} = (x \cdot v_x) + (y \cdot v_y)
\]

Подставим значения \(x\), \(y\), \(v_x\) и \(v_y\) в эту формулу:

\[
\vec{r} \cdot \vec{v} = ((0,4t + 1) \cdot 0,4) + ((0,3t) \cdot 0,3)
\]

\[
\vec{r} \cdot \vec{v} = 0,4(0,4t + 1) + 0,3(0,3t)
\]

\[
\vec{r} \cdot \vec{v} = 0,16t + 0,4 + 0,09t
\]

\[
\vec{r} \cdot \vec{v} = 0,25t + 0,4
\]

Теперь, зная значение скалярного произведения, можем выразить угол между двумя векторами:

\[
\vec{r} \cdot \vec{v} = |\vec{r}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\theta)
\]

\[
0,25t + 0,4 = \sqrt{(0,4t + 1)^2 + (0,3t)^2} \cdot \sqrt{(0,4)^2 + (0,3)^2} \cdot \cos(\theta)
\]

Для нахождения значения угла \(\theta\) требуется решить уравнение относительно \(\cos(\theta)\):

\[0,25t + 0,4 = \sqrt{(0,4t + 1)^2 + (0,3t)^2} \cdot \sqrt{0,4^2 + 0,3^2} \cdot \cos(\theta)\]

Постепенно набираем значения для \(t = 1\) секунда и подставляем их в уравнение. Вычислим значениями для \(t = 1\) секунда.

\[0,25 \cdot 1 + 0,4 = \sqrt{(0,4 \cdot 1 + 1)^2 + (0,3 \cdot 1)^2} \cdot \sqrt{0,4^2 + 0,3^2} \cdot \cos(\theta)\]

\[0,65 = \sqrt{(1,4)^2 + (0,3)^2} \cdot \sqrt{0,4^2 + 0,3^2} \cdot \cos(\theta)\]

Выполнив вычисления, получим следующее:

\[0,65 \approx 2,35 \cdot 0,5 \cdot \cos(\theta)\]

\[\cos(\theta) \approx \frac{0,65}{2,35 \cdot 0,5} \approx 0,5532\]

Теперь найдем значение угла \(\theta\) с использование арккосинуса функции:

\[\theta \approx \arccos(0,5532) \approx 55,68^{\circ}\]

В результате, угол между радиус-вектором и вектором скорости частицы в момент времени \(t = 1\) секунда составляет около \(55,68^{\circ}\).