Каков угол между векторами j и a (1;-1; sqrt(2))?

Konstantin

30

Чтобы найти угол между векторами \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{a}\), мы можем использовать формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{j} \cdot \mathbf{a}}}{{\|\mathbf{j}\| \|\mathbf{a}\|}}
\]

где \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{a}\) - скалярное произведение векторов \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{a}\), а \(\|\mathbf{j}\|\) и \(\|\mathbf{a}\|\) - длины векторов \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{a}\).

Давайте сначала найдем скалярное произведение векторов \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{a}\):

\[
\mathbf{j} \cdot \mathbf{a} = (0 \cdot 1) + (0 \cdot -1) + (1 \cdot \sqrt{2}) = \sqrt{2}
\]

Теперь найдем длины векторов \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{a}\):

\[
\|\mathbf{j}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1
\]

\[
\|\mathbf{a}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2
\]

Теперь, подставив значения в формулу для косинуса угла, получим:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\sqrt{2}}}{{1 \cdot 2}} = \frac{{\sqrt{2}}}{{2}} = \frac{{1}}{{\sqrt{2}}}
\]

Осталось найти значение самого угла. Мы можем использовать прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой будет 1, а прилежащим катетом будет \(\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\). Тогда противолежащий угол будет искомым углом. Чтобы найти значение этого угла, мы можем использовать функцию обратного тригонометрического косинуса:

\[
\theta = \arccos\left(\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\right)
\]

Найдя приближенное значение этой функции или используя калькулятор, получим:

\[
\theta \approx 45^\circ
\]

Таким образом, угол между векторами \(\mathbf{j}\) и \(\mathbf{a}\) составляет приблизительно 45 градусов.