Каков угол между векторами с и (b,c)a-(a,c)b, если длины векторов a,b,c равны 3,4,7? Укажите градусную величину

Шерхан

65

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться определением скалярного произведения векторов и тригонометрическими соотношениями.

Во-первых, нам потребуется найти значения скалярного произведения векторов a и c, а также векторов a и b. Скалярное произведение двух векторов вычисляется по формуле:

\[ a \cdot c = |a| \cdot |c| \cdot \cos \theta_{ac} \]

где |a| и |c| - длины векторов a и c соответственно, а \(\theta_{ac}\) - угол между векторами a и c.

Таким же образом считается и скалярное произведение векторов a и b:

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos \theta_{ab} \]

где |a| и |b| - длины векторов a и b соответственно, а \(\theta_{ab}\) - угол между векторами a и b.

Теперь воспользуемся записанной формулой для выражения угла между векторами с и (b,c) через скалярные произведения:

\[ \cos \Theta = \frac{a \cdot c}{|a| \cdot |c|} \cdot \frac{|b|}{|c|} - \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} \]

где \(\Theta\) - искомый угол между векторами с и (b,c).

Теперь, подставим известные значения:

\[ \cos \Theta = \frac{(b,c)a - (a,c)b}{|a| \cdot |c|} \cdot \frac{|b|}{|c|} - \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} \]

\[ \cos \Theta = \frac{(4 \cdot 7) \cdot 3 - (3 \cdot 7) \cdot 4}{3 \cdot 7} \cdot \frac{4}{7} - \frac{(3 \cdot 4)}{3 \cdot 4} \]

\[ \cos \Theta = \frac{56 \cdot 3 - 21 \cdot 4}{21} \cdot \frac{4}{7} - 1 \]

\[ \cos \Theta = \frac{168 - 84}{21} \cdot \frac{4}{7} - 1 \]

\[ \cos \Theta = 4 - 1 \]

\[ \cos \Theta = 3 \]

Таким образом, мы получили значение косинуса искомого угла \(\Theta\), которое равно 3. Теперь найдём сам угол \(\Theta\) с помощью обратной тригонометрической функции:

\[ \Theta = \arccos 3 \]

Так как косинус угла не может быть больше 1 или меньше -1, то в данном случае угол \(\Theta\) не существует. Поэтому правильного ответа на данную задачу не существует.