Каков вид графика функции y = x^2-6x +11 при х> или равно2 и y=x+1 при х< 2? Какие значения m обеспечивают две общие

Busya

63

Чтобы решить данную задачу, мы сначала рассмотрим два случая:

1) Если \(x \geq 2\):
Функция в этой области определения задана выражением \(y = x^2 - 6x + 11\). Для понимания вида графика этой функции, мы можем проанализировать ее характеристики.

Вид функции \(y = x^2 - 6x + 11\) можно определить, изучив квадратное уравнение \(y = x^2 - 6x + 11 = 0\). Чтобы найти его вершины, мы можем использовать формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 11\). Подставляя значения в формулу, мы получаем:
\[x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\]

Таким образом, точка вершины графика функции находится в точке (3, y), где \(y\) - это значение функции \(y = x^2 - 6x + 11\) при \(x = 3\). Подставляя \(x = 3\) в формулу, мы находим \(y = 3^2 - 6 \cdot 3 + 11 = -2\).

Теперь, зная, что график функции - это парабола (выгнутая вверх), и зная координаты вершины, мы можем построить график функции \(y = x^2 - 6x + 11\) для \(x \geq 2\).

2) Если \(x < 2\):
В этом случае график функции задан простым выражением \(y = x + 1\).

Теперь нам нужно найти значения \(m\), при которых график прямой \(y = m\) имеет две общие точки с графиком функции.
График прямой имеет общие точки с графиком функции, когда наше уравнение \(y = x^2 - 6x + 11\) пересекает прямую \(y = m\). Это происходит, когда наше уравнение имеет два корня.

Чтобы найти значения \(m\), при которых уравнение имеет два корня, мы рассмотрим дискриминант \(D\) нашего квадратного уравнения:
\[D = b^2 - 4ac\]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 11\), поэтому:
\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8\]

Так как дискриминант \(D\) отрицателен, уравнение \(y = x^2 - 6x + 11\) не имеет корней, а следовательно, график функции не пересекает ось \(x\) и прямую \(y = m\) одновременно для любого значения \(m\).

Итак, значения \(m\), обеспечивающие две общие точки с графиком прямой \(y = m\) не существуют.