а) Какова область допустимых значений данной функции f(x) = √(-x^2 + 8x - 7)? б) Что можно сказать о промежутках

Романович

61

Давайте разберем задачу шаг за шагом:

а) Чтобы найти область допустимых значений функции \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7}\), нужно определить, при каких значениях аргумента подкоренное выражение будет неотрицательным. Так как корень из отрицательного числа не определен в действительных числах, необходимо найти значения \(x\), при которых \(-x^2 + 8x - 7 \geq 0\).

Давайте решим получившееся неравенство:

\(-x^2 + 8x - 7 \geq 0\)

Для начала, перенесем все члены в левую сторону:

\(-x^2 + 8x - 7 + 0 \geq 0\)

Для решения этого квадратного неравенства, найдем его корни, используя квадратное уравнение:

\(-x^2 + 8x - 7 = 0\)

Для нахождения корней, воспользуемся формулой дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где у нас \(a = -1\), \(b = 8\), \(c = -7\):

\(D = 8^2 - 4(-1)(-7) = 64 - 28 = 36\)

Так как дискриминант \(D > 0\), квадратное уравнение имеет два различных корня.

Применяем формулу корней квадратного уравнения: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

\(x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{36}}{2(-1)}\)

\(x_{1,2} = \frac{-8 \pm 6}{-2}\)

\(x_{1,2} = \frac{-8 + 6}{-2}, \: \frac{-8 - 6}{-2}\)

\(x_1 = \frac{-2}{-2} = 1\), \(x_2 = \frac{-14}{-2} = 7\)

Теперь мы знаем, что корни уравнения находятся при значениях \(x = 1\) и \(x = 7\). Создадим интервалы между этими корнями и проверим знак выражения \(-x^2 + 8x - 7\) в каждом из этих интервалов.

Проверим интервал \((-\infty, 1)\). Выбираем точку внутри интервала, например, \(x = 0\), и подставляем ее в исходное выражение:

\(-0^2 + 8 \cdot 0 - 7 = -7\)

Значение получилось отрицательным. Это значит, что в интервале \((-\infty, 1)\) подкоренное выражение \(-x^2 + 8x - 7\) отрицательное.

Проверим интервал \((1, 7)\). Выбираем точку внутри интервала, например, \(x = 5\), и подставляем ее в исходное выражение:

\(-5^2 + 8 \cdot 5 - 7 = 18\)

Это значение положительное. Это значит, что в интервале \((1, 7)\) подкоренное выражение \(-x^2 + 8x - 7\) положительное.

Проверим интервал \((7, +\infty)\). Выбираем точку внутри интервала, например, \(x = 8\), и подставляем ее в исходное выражение:

\(-8^2 + 8 \cdot 8 - 7 = 33\)

Это значение также положительное. Значит, что в интервале \((7, +\infty)\) подкоренное выражение \(-x^2 + 8x - 7\) положительное.

Теперь мы можем записать область допустимых значений для функции \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 8x - 7}\): \(x \in (1, 7)\).

б) Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, нужно проанализировать ее производную. Давайте найдем производную функции \(f(x)\).

\[f"(x) = \frac{d}{dx} \sqrt{-x^2 + 8x - 7}\]

Используем правило дифференцирования для композиции функций и цепное правило:

\[f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 8x - 7}} \cdot \frac{d}{dx} (-x^2 + 8x - 7)\]

Дифференцируя выражение \(-x^2 + 8x - 7\), получим:

\[f"(x) = \frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 8x - 7}} \cdot (-2x + 8)\]

Теперь найдем точки, где производная равна нулю или не существует, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.

\[\frac{1}{2\sqrt{-x^2 + 8x - 7}} \cdot (-2x + 8) = 0\]

Заметим, что дробь не может быть равна нулю, так как знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому мы можем проигнорировать дробь и решить второе уравнение:

\(-2x + 8 = 0\)

Решая это уравнение, получаем:

\(x = 4\)

Таким образом, единственная точка, которая требует специального рассмотрения, - это точка \(x = 4\). Остальные значения \(x\) принадлежат области допустимых значений функции из пункта (а). Зная, что функция определена на интервале \((1, 7)\), можем выделить следующие промежутки:

1. Возрастание функции: \(x \in (1, 4)\)
2. Убывание функции: \(x \in (4, 7)\)

в) Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке \([3, \ldots]\), нужно проанализировать функцию на границах этого отрезка и на критических точках, найденных в пункте (б).

Подставим \(x = 3\) в функцию \(f(x)\):

\[f(3) = \sqrt{-3^2 + 8 \cdot 3 - 7} = \sqrt{9 + 24 - 7} = \sqrt{26}\]

Таким образом, при \(x = 3\) функция принимает значение \(\sqrt{26}\).

Подставим \(x = 7\) в функцию \(f(x)\):

\[f(7) = \sqrt{-7^2 + 8 \cdot 7 - 7} = \sqrt{49 + 56 - 7} = \sqrt{98}\]

Таким образом, при \(x = 7\) функция принимает значение \(\sqrt{98}\).

Так как функция возрастает на интервале \((1, 4)\) и убывает на интервале \((4, 7)\), то на отрезке \([3, 7]\) функция будет принимать свои наименьшее значение на границе \(x = 3\) (то есть \(\sqrt{26}\)) и наибольшее значение на границе \(x = 7\) (то есть \(\sqrt{98}\)).

Таким образом, максимальное значение функции на отрезке \([3, 7]\) равно \(\sqrt{98}\), а минимальное значение равно \(\sqrt{26}\).