Каков закон распределения и математическое ожидание числа Х, которое представляет собой количество шаров, извлеченных

Polyarnaya

12

Чтобы понять закон распределения и математическое ожидание числа \(X\), которое представляет собой количество шаров, извлеченных из урны по одному, пока не будут выбраны два шара одного цвета, рассмотрим следующий подход.

Закон распределения \(X\) можно рассчитать, определив вероятность каждого возможного значения. Для этого нам нужно рассмотреть различные сценарии, когда будут выбраны два шара одного цвета, и посчитать вероятность каждого сценария.

Итак, у нас есть четыре разных цвета шаров, и по три шара каждого цвета в урне. Перед тем, как рассматривать сценарии, давайте определим обозначения:
- \(R\) - цвет красных шаров,
- \(B\) - цвет синих шаров,
- \(G\) - цвет зеленых шаров,
- \(Y\) - цвет желтых шаров.

Теперь представим возможные сценарии, при которых будут выбраны два шара одного цвета:

1) Выбраны два красных шара: \(RR\).
2) Выбраны два синих шара: \(BB\).
3) Выбраны два зеленых шара: \(GG\).
4) Выбраны два желтых шара: \(YY\).

Для каждого сценария мы можем рассчитать вероятность события. Первый шар выбирается из всех шаров в урне (12 шаров), второй шар выбирается из оставшихся шаров соответствующего цвета (остается 2 шара нужного цвета). Общее количество возможных пар шаров равно выбору 2 шаров из 12 (сочетание из 12 по 2).

Рассчитаем вероятности для каждого сценария:

1) \(P(RR) = \frac{{3 \cdot 2}}{{12 \cdot 11}}\)
2) \(P(BB) = \frac{{3 \cdot 2}}{{12 \cdot 11}}\)
3) \(P(GG) = \frac{{3 \cdot 2}}{{12 \cdot 11}}\)
4) \(P(YY) = \frac{{3 \cdot 2}}{{12 \cdot 11}}\)

Теперь, чтобы найти закон распределения, мы должны сложить вероятности всех сценариев, где два шара одного цвета, для каждого возможного значения \(X\). \(X\) может принимать значения от 0 до 4 (включительно), так как есть возможность не выбрать два шара одного цвета.

Закон распределения будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{align*}
P(X=0) &= 1 - P(RR) - P(BB) - P(GG) - P(YY) \\
P(X=1) &= P(RR) + P(BB) + P(GG) + P(YY) \\
P(X=2) &= P(RR) + P(BB) + P(GG) + P(YY) \\
P(X=3) &= P(RR) + P(BB) + P(GG) + P(YY) \\
P(X=4) &= P(RR) + P(BB) + P(GG) + P(YY) \\
\end{align*}
\]

Теперь перейдем к математическому ожиданию числа \(X\), которое представляет собой среднее значение числа шаров, выбранных до получения двух шаров одного цвета. Математическое ожидание \(E(X)\) может быть вычислено, используя формулу:

\[
E(X) = \sum_{x=0}^{4} x \cdot P(X=x)
\]

Мы должны умножить каждое возможное значение \(X\) на его вероятность \(P(X=x)\) и сложить результаты.

Таким образом, математическое ожидание числа \(X\) будет равно:

\[
E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3) + 4 \cdot P(X=4)
\]

Произведем необходимые вычисления, используя найденные ранее значения вероятностей \(P(X=x)\), чтобы найти математическое ожидание \(E(X)\).

Пожалуйста, дайте мне некоторое время для выполнения этих вычислений.