Каков закон распределения случайной величины x, обозначающей общее число попаданий при стрельбе из трех орудий

Lapulya

55

Когда мы стреляем из трех орудий в батарее, вероятность попадания из каждого орудия задана следующим образом: вероятность попадания из первого орудия равна 0,5, вероятность попадания из второго орудия равна 0,6, а вероятность попадания из третьего орудия равна 0,8. Мы хотим найти закон распределения случайной величины x, которая представляет общее число попаданий при стрельбе.

Для этого мы можем использовать биномиальное распределение. Биномиальное распределение описывает вероятность появления определенного количества успехов в серии независимых испытаний.

В нашем случае, возможные значения для x будут 0, 1, 2 и 3, соответствующие количеству попаданий. Формула для вероятности биномиального распределения определена следующим образом:

\[P(x=k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- P(x=k) - вероятность получить k попаданий
- C(n,k) - число сочетаний из n по k, равное \(\frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\)
- p - вероятность попадания в одно испытание
- n - общее количество испытаний

Давайте вычислим вероятности для каждого значения x:

- k=0 (нет попаданий):
\[P(x=0) = C(3,0) \cdot 0,5^0 \cdot 0,5^3 = \frac{{3!}}{{0! \cdot (3-0)!}} \cdot 0,5^0 \cdot 0,5^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,125 = 0,125\]

- k=1 (одно попадание):
\[P(x=1) = C(3,1) \cdot 0,5^1 \cdot 0,5^2 = \frac{{3!}}{{1! \cdot (3-1)!}} \cdot 0,5^1 \cdot 0,5^2 = 3 \cdot 0,5 \cdot 0,25 = 0,375\]

- k=2 (два попадания):
\[P(x=2) = C(3,2) \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^1 = \frac{{3!}}{{2! \cdot (3-2)!}} \cdot 0,5^2 \cdot 0,5^1 = 3 \cdot 0,25 \cdot 0,5 = 0,375\]

- k=3 (три попадания):
\[P(x=3) = C(3,3) \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^0 = \frac{{3!}}{{3! \cdot (3-3)!}} \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^0 = 1 \cdot 0,125 \cdot 1 = 0,125\]

Теперь у нас есть закон распределения случайной величины x:

\[
\begin{align*}
x=0 & : P(x=0) = 0,125 \\
x=1 & : P(x=1) = 0,375 \\
x=2 & : P(x=2) = 0,375 \\
x=3 & : P(x=3) = 0,125 \\
\end{align*}
\]

Чтобы построить график функции распределения x, нам нужно найти сумму вероятностей для каждого значения x и значения предыдущих значений x.

\[
\begin{align*}
P(X\leq0) & = P(x=0) = 0,125 \\
P(X\leq1) & = P(x=0) + P(x=1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 \\
P(X\leq2) & = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875 \\
P(X\leq3) & = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1 \\
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть функция распределения для x:

\[
\begin{align*}
P(X\leq0) & = 0,125 \\
P(X\leq1) & = 0,5 \\
P(X\leq2) & = 0,875 \\
P(X\leq3) & = 1 \\
\end{align*}
\]

Чтобы найти математическое ожидание \(m_0(x)\), мы используем следующую формулу:

\[m_0(x) = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P(x=k)\]

Вычислим \(m_0(x)\):

\[m_0(x) = 0 \cdot P(x=0) + 1 \cdot P(x=1) + 2 \cdot P(x=2) + 3 \cdot P(x=3)\]

\[m_0(x) = 0 \cdot 0,125 + 1 \cdot 0,375 + 2 \cdot 0,375 + 3 \cdot 0,125 = 0,125 + 0,375 + 0,75 + 0,375 = 1,625\]

Итак, математическое ожидание \(m_0(x)\) равно 1,625.

Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.