1) Найдите корни уравнения: (2x-1)²=2x-1; 2) Решите уравнение: (x-3)²=4(x-3); 3) Найдите решение уравнения

Misticheskiy_Zhrec

54

Конечно, давайте решим данные уравнения по очереди:

1) Найдем корни уравнения: \( (2x-1)^2 = 2x-1 \)

Раскроем квадрат в левой части уравнения:

\[ 4x^2 - 4x + 1 = 2x - 1 \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[ 4x^2 - 6x + 2 = 0 \]

Теперь найдем корни квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 4 \), \( b = -6 \), \( c = 2 \).

\[ D = (-6)^2 - 4*4*2 = 36 - 32 = 4 \]

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения и находим корни:

\[ x_{1} = \frac{6 + \sqrt{4}}{8} = \frac{6 + 2}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]

\[ x_{2} = \frac{6 - \sqrt{4}}{8} = \frac{6 - 2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, корни уравнения \( (2x-1)^2 = 2x-1 \) равны 1 и 0.5.

2) Решим уравнение: \( (x-3)^2 = 4(x-3) \)

Раскроем квадрат:

\[ x^2 - 6x + 9 = 4x - 12 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ x^2 - 6x - 4x + 9 + 12 = 0 \]

\[ x^2 - 10x + 21 = 0 \]

Теперь найдем корни:

\[ D = (-10)^2 - 4*1*21 = 100 - 84 = 16 \]

\[ x_{1} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7 \]

\[ x_{2} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3 \]

Корни уравнения \( (x-3)^2 = 4(x-3) \) равны 7 и 3.

3) Найдем решение уравнения: \( 4(x-3)^2 = (2x+6)^2 \)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 4(x^2 - 6x + 9) = 4x^2 + 24x + 36 \]

\[ 4x^2 - 24x + 36 = 4x^2 + 24x + 36 \]

\[ -24x = 24x \]

Это уравнение не имеет решений, так как левая и правая стороны равны друг другу, что противоречит математической логике.

4) Найдем корни уравнения: \( (3x+4)^2 = 3(x+4) \)

Раскроем квадрат и упростим:

\[ 9x^2 + 24x + 16 = 3x + 12 \]

\[ 9x^2 + 24x - 3x + 16 - 12 = 0 \]

\[ 9x^2 + 21x + 4 = 0 \]

Решим этот квадратное уравнение:

\[ D = 21^2 - 4*9*4 = 441 - 144 = 297 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-21 \pm \sqrt{297}}{2*9} \]

Оставим корни в виде выражения с корнем из 297:

\[ x_{1} = \frac{-21 + \sqrt{297}}{18} \]

\[ x_{2} = \frac{-21 - \sqrt{297}}{18} \]

Это корни уравнения \( (3x+4)^2 = 3(x+4) \).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам понять, как найти корни и решения квадратных уравнений.