Какова алгебраическая сумма коэффициентов многочлена, получаемого при разложении бинома Ньютона (4x−5)^13 относительно

Андрей

47

Чтобы решить данную задачу, нам понадобится знание формулы разложения бинома Ньютона:

\[(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n b^0+\binom{n}{1}a^{n-1} b^1+\binom{n}{2}a^{n-2} b^2+...+\binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1}+\binom{n}{n}a^0 b^n\]

где \(\binom{n}{k}\) обозначает биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

В данной задаче нам дан бином \((4x-5)^{13}\), и мы хотим найти сумму коэффициентов многочлена, который получается при его разложении.

Для нахождения суммы коэффициентов нам необходимо сложить все коэффициенты при одночленах разложения. В данном случае мы имеем следующий вид одночленов:

\(\binom{13}{0}(4x)^{13}(-5)^0+\binom{13}{1}(4x)^{12}(-5)^1+\binom{13}{2}(4x)^{11}(-5)^2+...+\binom{13}{12}(4x)^1(-5)^{12}+\binom{13}{13}(4x)^0(-5)^{13}\)

Давайте перейдем к решению этой задачи пошагово:

1. Вычисляем каждое значение биномиального коэффициента и выражений внутри скобок:

\(\binom{13}{0}=1\)

\((4x)^{13}=4^{13}x^{13}\)

\((-5)^0=1\)

2. Теперь мы знаем значения первого одночлена:

\(1\cdot4^{13}x^{13}\cdot1=4^{13}x^{13}\)

3. Повторяем те же шаги для остальных одночленов:

\(\binom{13}{1}=13\)

\((4x)^{12}=4^{12}x^{12}\)

\((-5)^1=(-5)\)

\(13\cdot4^{12}x^{12}\cdot(-5)=-13\cdot4^{12}x^{12}\)

4. Продолжаем для остальных одночленов:

\(\binom{13}{2}=78\)

\((4x)^{11}=4^{11}x^{11}\)

\((-5)^2=25\)

\(78\cdot4^{11}x^{11}\cdot25=78\cdot25\cdot4^{11}x^{11}\)

5. Продолжаем до последнего одночлена:

\(\binom{13}{13}=1\)

\((4x)^0=1\)

\((-5)^{13}=(-5)^{13}\)

\(1\cdot1\cdot(-5)^{13}=(-5)^{13}\)

6. После того, как мы вычислили все одночлены, сложим их все вместе:

\[4^{13}x^{13}-13\cdot4^{12}x^{12}+78\cdot25\cdot4^{11}x^{11}+...+(-5)^{13}\]

7. Сокращаем все сложенные одночлены с экспонентами, и алгебраическая сумма коэффициентов многочлена будет равна ответу.