Нужно доказать следующее тождество: cos4a×ctg2a - sin4a = ctg2a

Эдуард

13

Очень рад помочь вам понять это тождество! Давайте докажем его шаг за шагом.

Начнем с левой части тождества:

\[ \cos^4 a \cdot \cot^2 a - \sin^4 a \]

Вспомним, что \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\). Теперь возведем это тождество в квадрат:

\[ (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ \sin^4 a + 2 \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a = 1 \]

Теперь отнимем от обеих частей данного равенства \(\sin^4 a\):

\[ 2 \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a = 1 - \sin^4 a \]

Мы хотим привести правую часть к виду \(\cot^2 a\). Вспомним определение \(\cot a = \frac{{\cos a}}{{\sin a}}\). Тогда \(\cot^2 a = \left(\frac{{\cos a}}{{\sin a}}\right)^2 = \frac{{\cos^2 a}}{{\sin^2 a}}\).

Поделим обе части равенства на \(\sin^2 a\):

\[ 2 \cos^2 a + \frac{{\cos^4 a}}{{\sin^2 a}} = \frac{{1 - \sin^4 a}}{{\sin^2 a}} \]

Теперь заменим \(\cos^2 a\) на \(\frac{{\sin^2 a}}{{\cot^2 a}}\):

\[ 2 \left(\frac{{\sin^2 a}}{{\cot^2 a}}\right) + \frac{{\left(\frac{{\sin^2 a}}{{\cot^2 a}}\right)^2}}{{\sin^2 a}} = \frac{{1 - \sin^4 a}}{{\sin^2 a}} \]

Сократим две избыточные \(\sin^2 a\) в числителе и знаменателе:

\[ 2 \left(\frac{{\sin^2 a}}{{\cot^2 a}}\right) + \frac{{\sin^4 a}}{{\cot^2 a}} = \frac{{1 - \sin^4 a}}{{\sin^2 a}} \]

Теперь объединим дроби слева:

\[ \frac{{2 \sin^2 a + \sin^4 a}}{{\cot^2 a}} = \frac{{1 - \sin^4 a}}{{\sin^2 a}} \]

Теперь заметим, что числитель и знаменатель справа равны \(\cos^2 a\) по тождеству \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\):

\[ \frac{{\cos^2 a}}{{\cot^2 a}} = \frac{{\cos^2 a}}{{\sin^2 a}} \]

Выражения в числителях и знаменателях равны, поэтому уравнение выполняется. Следовательно, мы доказали данное тождество:

\[ \cos^4 a \cdot \cot^2 a - \sin^4 a = \cot^2 a \]

Надеюсь, этот шаг за шагом разбор помог вам понять и доказать данное тождество. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!