Какова амплитуда колебаний частицы, которая совершает гармонические колебания вокруг положения равновесия с периодом
Какова амплитуда колебаний частицы, которая совершает гармонические колебания вокруг положения равновесия с периодом 1,0 секунды, начиная с момента времени t=0, когда точка отклоняется от положения равновесия на 10 см и имеет скорость 20 м/с?
Сердце_Океана 46
Для решения данной задачи, нам понадобятся некоторые основные формулы для гармонических колебаний.Период \(T\) гармонических колебаний связан со частотой \(f\) следующим соотношением:
\[T = \frac{1}{f}\]
Амплитуда \(A\) колебаний можно определить как максимальное отклонение колеблющейся частицы от положения равновесия.
Для определения амплитуды колебаний воспользуемся формулой энергии гармонического осциллятора:
\[E = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2\]
где \(m\) - масса колеблющейся частицы, \(v\) - скорость частицы, \(k\) - коэффициент упругости, \(x\) - отклонение частицы от положения равновесия.
Мы уже имеем начальные условия: отклонение частицы от положения равновесия \(x = 10\) см (0,1 м) и скорость частицы \(v = 20\) м/с.
Величина коэффициента упругости \(k\) не задана в условии задачи, поэтому мы не можем найти его конкретное значение и точную амплитуду колебаний. Однако, мы можем выразить амплитуду через известные величины.
Разобьем решение на несколько шагов:
Шаг 1: Найдем массу \(m\) колеблющейся частицы. Предположим, что масса единицы измерения массы равна \(1\) кг (для упрощения расчетов).
Шаг 2: Выразим коэффициент упругости \(k\) через известные величины.
В формуле энергии гармонического осциллятора, кинетическая энергия \(\frac{1}{2} m v^2\) равна потенциальной энергии \(\frac{1}{2} k x^2\) в пункте максимального отклонения колеблющейся частицы от положения равновесия. Подставляя начальные условия, получим:
\[\frac{1}{2} m (20)^2 = \frac{1}{2} k (0.1)^2\]
Шаг 3: Решим полученное уравнение для выражения коэффициента упругости \(k\):
\[m \cdot 400 = k \cdot 0.01\]
\[k = \frac{m \cdot 400}{0.01}\]
Шаг 4: Выразим амплитуду \(A\) через известные величины:
\[E = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{m \cdot 400}{0.01}\right) x^2\]
Подставляя начальные условия:
\[E = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (20)^2 + \frac{1}{2} \left(\frac{1 \cdot 400}{0.01}\right) \cdot (0.1)^2\]
Вычислив эту сумму, мы найдем значение полной энергии системы гармонических колебаний.