Какова апофема правильной треугольной пирамиды, у которой высота равна 4 корня 3, а радиус окружности, описанной около

Kosmicheskiy_Astronom

1

Чтобы решить данную задачу, нам нужно найти апофему (расстояние от вершины пирамиды до центра основания), площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности.

Для начала, давайте найдем значение апофемы. Воспользуемся теоремой Пифагора для основания пирамиды:

\[радиус^{2}=апофема^{2}+сторона^{2}\]

Мы знаем, что радиус основания равен 8, поэтому можем записать:

\[8^{2}=апофема^{2}+сторона^{2}\]

В треугольной пирамиде, основание - правильный треугольник. Значит, все его стороны равны. Обозначим сторону треугольника как \(a\). Тогда:

\[64=апофема^{2}+a^{2}\]

Мы также знаем, что высота пирамиды равна 4 корня из 3. Так как это высота, она перпендикулярна основанию, а значит, она является биссектрисой основания. В правильном треугольнике биссектриса одновременно является медианой и высотой, поэтому можем применить соответствующую формулу:

\[апофема^{2}=a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\]

Упростим это уравнение:

\[апофема^{2}=\frac{3}{4}a^{2}\]

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} 64=апофема^{2}+a^{2} \\ апофема^{2}=\frac{3}{4}a^{2} \end{cases}\]

Подставим второе уравнение в первое:

\[64=\frac{3}{4}a^{2}+a^{2}\]

Упростим уравнение:

\[64=\frac{7}{4}a^{2}\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{7}\):

\[a^{2}=\frac{256}{7}\]

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

\[a=\frac{16}{\sqrt{7}}\]

Теперь, чтобы найти апофему, подставим найденное значение \(а\) во второе уравнение:

\[апофема^{2}=\frac{3}{4}\left(\frac{16}{\sqrt{7}}\right)^{2}\]

Упростим это уравнение:

\[апофема=\frac{4}{\sqrt{7}}\]

Таким образом, апофема правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{4}{\sqrt{7}}\).

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Формула для площади боковой поверхности пирамиды:

\[площадь\_боковой\_поверхности=периметр\_основания \times апофема\]

Так как основание пирамиды - правильный треугольник, периметр основания равен 3 умноженное на длину стороны:

\[периметр\_основания=3 \times a\]

Подставим значения \(a\) и \(апофема\) в формулу:

\[площадь\_боковой\_поверхности=3 \times \frac{16}{\sqrt{7}} \times \frac{4}{\sqrt{7}}\]

Упростим это уравнение:

\[площадь\_боковой\_поверхности=\frac{48}{7}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(\frac{48}{7}\).

Наконец, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нам нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности. Площадь основания правильного треугольника можно вычислить с помощью формулы:

\[площадь\_основания=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\]

Подставим значение \(a\) в эту формулу:

\[площадь\_основания=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{16}{\sqrt{7}}\right)^{2}\]

Упростим это уравнение:

\[площадь\_основания=\frac{64}{7}\]

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности, сложим площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[площадь\_полной\_поверхности=\frac{64}{7}+\frac{48}{7}=\frac{112}{7}\]

Упростим это уравнение:

\[площадь\_полной\_поверхности=16\]

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна 16.

Итак, ответ на задачу:
Апофема правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{4}{\sqrt{7}}\).
Площадь боковой поверхности равна \(\frac{48}{7}\).
Площадь полной поверхности равна 16.