Какова будет длина хорды МD в окружности с радиусом

Martyshka

46

Какова будет длина хорды \(MD\) в окружности с радиусом \(r\)? Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать свойство перпендикулярных хорд в окружности.

Перпендикулярные хорды окружности делятся пополам, то есть, если \(AB\) и \(CD\) -- перпендикулярные хорды, пересекающиеся в точке \(E\), то \(AE = EB\) и \(CE = ED\).

Рассмотрим нашу окружность и хорду \(MD\). Пусть точка \(O\) -- центр окружности, а точка \(E\) -- точка пересечения хорды \(MD\) и диаметра, проходящего через центр окружности.

Так как диаметр является перпендикулярной хордой, то мы можем применить свойство перпендикулярных хорд и сказать, что:

\[ME = ED\]

Также, так как \(OM\) является радиусом, он равен половине диаметра:

\[OM = \frac{1}{2} OD\]

Мы знаем, что \(OD = 2r\) (так как \(OD\) -- это диаметр, а радиус равен половине диаметра), поэтому:

\[OM = \frac{1}{2} \cdot 2r = r\]

Теперь мы имеем равенство \(ME = ED\) и \(OM = r\), поэтому треугольник \(OME\) является равнобедренным.

Так как треугольник \(OME\) равнобедренный, то мы можем сказать, что угол \(OME\) равен углу \(MOE\).

Используем основную свойство синуса, чтобы найти длину хорды \(MD\):

\[\sin \angle MOE = \frac{ME}{OM}\]

Подставляем известные значения:

\[\sin \angle MOE = \frac{ED}{r}\]

Теперь нам нужно найти значение угла \(\angle MOE\). Угол, написанный на центральной хорде, равен в два раза углу, который опирается на эту хорду:

\[\angle MOE = 2 \cdot \angle AOD\]

Но так как \(\angle AOD\) -- это центральный угол, опирающийся на дугу \(AD\), а дуга \(AD\) -- это половина окружности, то \(\angle AOD = 180^\circ\).

Подставляем значение угла:

\[\angle MOE = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ\]

Теперь мы имеем уравнение:

\[\sin 360^\circ = \frac{ED}{r}\]

Синус \(360^\circ\) равен нулю, поэтому:

\[0 = \frac{ED}{r}\]

Умножаем обе стороны на \(r\):

\[0 \cdot r = ED\]

\[\Rightarrow 0 = ED\]

Таким образом, длина хорды \(MD\) в этом случае равна нулю.