Какова численная величина пятого члена прогрессии, если известно, что он равен четверти куба третьего члена прогрессии
Какова численная величина пятого члена прогрессии, если известно, что он равен четверти куба третьего члена прогрессии, а сумма прогрессии составляет 4,5?
Жираф_411 8
Для решения этой задачи, давайте найдем формулу общего члена арифметической прогрессии. Общий член \(a_n\) арифметической прогрессии можно найти с помощью следующей формулы:\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
где \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, а \(d\) - разность прогрессии.
В данной задаче нам известна сумма прогрессии, которая равна 4,5. Мы можем использовать следующую формулу для вычисления суммы арифметической прогрессии:
\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]
где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии.
Теперь обратимся к условию задачи. Известно, что пятый член прогрессии равен четверти куба третьего члена прогрессии. Пусть \(a_5\) - пятый член, а \(a_3\) - третий член. Тогда мы можем записать это условие следующим образом:
\[a_5 = \frac{1}{4}(a_3)^3\]
Теперь давайте воспользуемся найденной нами формулой для суммы прогрессии. Зная, что сумма прогрессии равна 4,5, мы можем записать:
\[4,5 = \frac{5}{2}(a_1 + a_5)\]
Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: \(a_1\) и \(a_3\). Чтобы найти решение, мы можем совместить эти уравнения.
Сначала нам нужно найти \(a_1\). Заменим \(a_5\) во втором уравнении на выражение из условия:
\[4,5 = \frac{5}{2}(a_1 + \frac{1}{4}(a_3)^3)\]
Упростим это уравнение:
\[4,5 = \frac{5}{2}a_1 + \frac{5}{8}(a_3)^3\]
Теперь у нас есть одно уравнение с одной неизвестной. Решим его относительно \(a_1\):
\[4,5 - \frac{5}{8}(a_3)^3 = \frac{5}{2}a_1\]
\[a_1 = \frac{4,5 - \frac{5}{8}(a_3)^3}{\frac{5}{2}}\]
Теперь у нас осталось только найти \(a_3\), чтобы подставить его значения и найти \(a_1\). Для этого вернемся к условию, где указано, что пятый член равен четверти куба третьего члена:
\[a_5 = \frac{1}{4}(a_3)^3\]
Поскольку \(a_5 = \frac{4}{4}a_5\), мы можем записать:
\[\frac{4}{4}a_5 = \frac{1}{4}(a_3)^3\]
Теперь мы можем найти \(a_3\):
\[a_3 = \sqrt[3]{4a_5}\]
Используя это значение \(a_3\), мы можем найти \(a_1\):
\[a_1 = \frac{4,5 - \frac{5}{8}(\sqrt[3]{4a_5})^3}{\frac{5}{2}}\]
Теперь, подставив численные значения, мы можем вычислить ответ.