Какова численная величина пятого члена прогрессии, если известно, что он равен четверти куба третьего члена прогрессии

Жираф_411

8

Для решения этой задачи, давайте найдем формулу общего члена арифметической прогрессии. Общий член \(a_n\) арифметической прогрессии можно найти с помощью следующей формулы:

\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

где \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии, а \(d\) - разность прогрессии.

В данной задаче нам известна сумма прогрессии, которая равна 4,5. Мы можем использовать следующую формулу для вычисления суммы арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии.

Теперь обратимся к условию задачи. Известно, что пятый член прогрессии равен четверти куба третьего члена прогрессии. Пусть \(a_5\) - пятый член, а \(a_3\) - третий член. Тогда мы можем записать это условие следующим образом:

\[a_5 = \frac{1}{4}(a_3)^3\]

Теперь давайте воспользуемся найденной нами формулой для суммы прогрессии. Зная, что сумма прогрессии равна 4,5, мы можем записать:

\[4,5 = \frac{5}{2}(a_1 + a_5)\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными: \(a_1\) и \(a_3\). Чтобы найти решение, мы можем совместить эти уравнения.

Сначала нам нужно найти \(a_1\). Заменим \(a_5\) во втором уравнении на выражение из условия:

\[4,5 = \frac{5}{2}(a_1 + \frac{1}{4}(a_3)^3)\]

Упростим это уравнение:

\[4,5 = \frac{5}{2}a_1 + \frac{5}{8}(a_3)^3\]

Теперь у нас есть одно уравнение с одной неизвестной. Решим его относительно \(a_1\):

\[4,5 - \frac{5}{8}(a_3)^3 = \frac{5}{2}a_1\]

\[a_1 = \frac{4,5 - \frac{5}{8}(a_3)^3}{\frac{5}{2}}\]

Теперь у нас осталось только найти \(a_3\), чтобы подставить его значения и найти \(a_1\). Для этого вернемся к условию, где указано, что пятый член равен четверти куба третьего члена:

\[a_5 = \frac{1}{4}(a_3)^3\]

Поскольку \(a_5 = \frac{4}{4}a_5\), мы можем записать:

\[\frac{4}{4}a_5 = \frac{1}{4}(a_3)^3\]

Теперь мы можем найти \(a_3\):

\[a_3 = \sqrt[3]{4a_5}\]

Используя это значение \(a_3\), мы можем найти \(a_1\):

\[a_1 = \frac{4,5 - \frac{5}{8}(\sqrt[3]{4a_5})^3}{\frac{5}{2}}\]

Теперь, подставив численные значения, мы можем вычислить ответ.