Какова длина апофемы правильной шестиугольной пирамиды, если одно из ее боковых ребер образует угол 60° с плоскостью

Skvorec

70

Для решения этой задачи давайте разберемся, что такое апофема и как ее можно найти в правильной шестиугольной пирамиде.

Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания, перпендикулярно к плоскости основания.

У нас есть информация, что одно из боковых ребер пирамиды образует угол 60° с плоскостью основания. В данном случае, это значит, что угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°.

Также задана высота пирамиды, которая равна 3√5.

Для начала найдем длину бокового ребра пирамиды. Для этого, воспользуемся тригонометрией и углом 60°.

В правильной шестиугольной пирамиде все углы при вершине равны, поэтому мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, половиной основания и апофемой.

Так как угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°, то угол между апофемой и половиной основания составляет 30°.

Зная, что высота пирамиды равна 3√5, мы можем применить тригонометрический тангенс к углу 30°:

\[\tan(30°) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} = \frac{{3\sqrt{5}}}{{\text{{половина основания}}}}\]

Для простоты вычислений, найдем катет половины основания, перемножив оба выражения:

\[\frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} \times \text{{прилежащий катет}} = \frac{{3\sqrt{5}}}{{\text{{половина основания}}}} \times \text{{половина основания}}\]

Упростим:

\[\text{{противолежащий катет}} = \frac{{3\sqrt{5}}}{{2}}\]

Теперь у нас есть противолежащий катет в прямоугольном треугольнике. Мы можем использовать его для нахождения апофемы.

Апофему можно найти, используя теорему Пифагора:

\[\text{{апофема}} = \sqrt{{\text{{противолежащий катет}}^2 + (\text{{высота}})^2}}\]

Подставим значения:

\[\text{{апофема}} = \sqrt{{\left(\frac{{3\sqrt{5}}}{{2}}\right)^2 + (3\sqrt{5})^2}}\]

Упростим:

\[\text{{апофема}} = \sqrt{{\frac{{9 \cdot 5}}{{4}} + 9 \cdot 5}}\]

\[\text{{апофема}} = \sqrt{{\frac{{45}}{{4}} + 45}}\]

\[\text{{апофема}} = \sqrt{{\frac{{45 + 180}}{{4}}}}\]

\[\text{{апофема}} = \sqrt{{\frac{{225}}{{4}}}}\]

\[\text{{апофема}} = \frac{{15}}{{2}}\]

Таким образом, длина апофемы правильной шестиугольной пирамиды равна \(\frac{{15}}{{2}}\).