Какова длина боковой стороны EF трапеции EFKT, если известно, что TK = 12 и углы ETK и FET равны соответственно 135°

Радужный_Ураган

63

Обратимся к геометрии, чтобы решить эту задачу. Давайте рассмотрим трапецию EFKT и обозначим стороны и углы, о которых говорится в задаче.

Мы знаем, что сторона TK равна 12 единицам длины, а углы ETK и FET равны 135° и 60° соответственно.

Для начала, обратим внимание, что сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Это поможет нам вычислить угол TKE в треугольнике TKE.

Так как угол ETK равен 135°, а угол TKE - это дополнительный угол к углу ETK, то он равен 180° - 135° = 45°.

Теперь рассмотрим треугольник ETK. У нас есть два угла, ETK (135°) и TKE (45°), и нам нужно найти третий угол, чтобы полностью определить треугольник. Для нахождения этого угла, мы можем использовать свойство суммы углов треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°. Зная, что угол ETK равен 135° и угол TKE равен 45°, мы можем вычислить третий угол:

ETK + TKE + X = 180°,

135° + 45° + X = 180°,

180° + X = 180°,

X = 0°.

Таким образом, третий угол ETK равен 0°.

Теперь, посмотрим на наши трапецию EFKT. Угол FET равен 60°, а третий угол трапеции EFKT будет дополнительным углом к углу FET, который также равен 60°.

Таким образом, мы можем заключить, что третий угол трапеции EFKT равен 180° - 60° - 60° = 60°.

Теперь мы можем приступить к нахождению длины боковой стороны EF.

В трапеции EF значит, что боковая сторона EF параллельна основаниям EK и FT. Поэтому, если мы посмотрим на треугольник ETF, то сторона EF будет являться боковой стороной этого треугольника.

Мы знаем, что угол ETF равен 60°, а сторона TK равна 12 единицам длины. Мы можем применить тригонометрический закон синусов для нахождения длины стороны EF:

\[\frac{{EF}}{{\sin(60°)}} = \frac{{TK}}{{\sin(ETK)}}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{{EF}}{{\sin(60°)}} = \frac{{12}}{{\sin(135°)}}.\]

Выполним вычисления:

\[\frac{{EF}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}} = \frac{{12}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}.\]

Упростим выражение:

\[EF \cdot \frac{{2}}{{\sqrt{3}}} = 12 \cdot \frac{{2 \sqrt{2}}}{{2}}.\]

Далее, упростим дроби:

\[EF \cdot \frac{{2}}{{\sqrt{3}}} = 12 \cdot \sqrt{2}.\]

Для того чтобы избавиться от дроби, умножим обе части равенства на \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\):

\[EF \cdot \frac{{2}}{{\sqrt{3}}} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = 12 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}.\]

\[\frac{{EF \cdot 2}}{{\sqrt{3}}} = 6 \cdot \sqrt{6}.\]

Домножим обе части на \(\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\) чтобы избавиться от дроби:

\[\frac{{EF \cdot 2}}{{\sqrt{3}}} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = 6 \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}.\]

\[EF = 3 \cdot \sqrt{18}.\]

Раскроем корень:

\[EF = 3 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}.\]

\[EF = 9 \cdot \sqrt{2}.\]

Таким образом, длина боковой стороны EF трапеции равна \(9 \cdot \sqrt{2}\) единицам длины.