Какова длина диагонали правильной четырехугольной призмы с площадью основания 100 см² и высотой 5 см? I. a. 15

Бася_742

37

Для решения данной задачи, нам потребуется применить теорему Пифагора. Сначала определим основание четырехугольной призмы как квадрат со стороной \( a \). Задача заключается в нахождении длины диагонали, которая является гипотенузой.

Теорема Пифагора гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Применим эту теорему к нашей задаче.

Длина диагонали (\( d \)) является гипотенузой нашего треугольника, а сторона основания (\( a \)) будет одним из катетов. Другой катет можно найти с помощью высоты (\( h \)), так как четырехугольная призма является правильной, сторона основания и высота перпендикулярны.

Применяем теорему Пифагора:

\[
d^2 = a^2 + h^2
\]

У нас дана площадь основания (\( S \)) равная 100 см² и высота (\( h \)) равная 5 см. Мы должны найти длину диагонали (\( d \)).

Зная, что площадь квадрата равна квадрату его стороны, мы можем выразить сторону основания (\( a \)) через площадь основания (\( S \)):

\[
a = \sqrt{S}
\]

Подставляем эти значения в наше уравнение:

\[
d^2 = (\sqrt{S})^2 + h^2
\]

\[
d^2 = S + h^2
\]

Подставляем известные значения:

\[
d^2 = 100 \, \text{см}^2 + (5 \, \text{см})^2
\]

\[
d^2 = 100 \, \text{см}^2 + 25 \, \text{см}^2
\]

\[
d^2 = 125 \, \text{см}^2
\]

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

\[
d = \sqrt{125} \, \text{см}
\]

Дальше сокращаем подкоренное выражение:

\[
d = \sqrt{5 \cdot 25} \, \text{см}
\]

\[
d = \sqrt{5} \cdot \sqrt{25} \, \text{см}
\]

\[
d = \sqrt{5} \cdot 5 \, \text{см}
\]

\[
d = 5\sqrt{5} \, \text{см}
\]

Итак, длина диагонали правильной четырехугольной призмы с площадью основания 100 см² и высотой 5 см равно \( 5\sqrt{5} \) см.