Какова длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, если площадь одной из его граней составляет 48 см, периметр этой

Глория

64

Чтобы найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, нам понадобится использовать теорему Пифагора. Эта теорема утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Давайте найдем все необходимые значения.

Мы знаем, что площадь одной из граней параллелепипеда составляет 48 см², а ее периметр равен 28 см. Это означает, что у этой грани длина и ширина равны соответственно 6 см и 8 см.

Также в задаче говорится, что есть одно ребро, перпендикулярное этой грани, длиной \(a\) (нам необходимо найти значение \(a\)).

Теперь, чтобы найти длину диагонали, нам нужно найти длины остальных двух ребер, а затем использовать теорему Пифагора.

Чтобы найти длину первого ребра, обратимся к площади грани. Площадь грани параллелепипеда вычисляется по формуле \(S = a \times b\), где \(a\) и \(b\) - длина и ширина грани соответственно. В нашем случае, площадь грани равна 48 квадратных сантиметров, а длина грани равна 6 см. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[48 = 6 \times b\]

Решая это уравнение, мы получаем, что \(b = 8\) см.

Теперь, чтобы найти длину второго ребра, мы используем периметр грани. Периметр грани параллелепипеда равен сумме всех сторон грани. В нашем случае, периметр грани равен 28 см, а сумма всех сторон грани равна \(2a + 2b\). Подставим значения \(a\) и \(b\) в это уравнение:

\[28 = 2a + 2 \times 8\]

Решая это уравнение, мы получаем \(a = 6\) см.

Теперь, когда у нас есть длина всех трех ребер, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Обозначим длину диагонали, которую мы ищем, как \(d\).

В прямоугольном параллелепипеде есть три взаимно перпендикулярные грани, поэтому треугольник, образованный этими ребрами, будет прямоугольным. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, мы можем записать уравнение:

\[d^2 = 6^2 + 8^2 + 6^2\]

Вычисляя правую часть этого уравнения, мы получаем:

\[d^2 = 36 + 64 + 36\]
\[d^2 = 136\]

Теперь найдем квадратный корень из обоих сторон уравнения:

\[d = \sqrt{136}\]

Таким образом, длина диагонали прямоугольного параллелепипеда составляет \(\sqrt{136}\) см.