Какова длина дуги окружности, которая делится вершинами вписанного правильного треугольника и равна 4π см? А также

Пуфик

44

Для решения этой задачи нам понадобятся различные свойства вписанных треугольников и окружностей. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по порядку.

Первый вопрос: Какова длина дуги окружности, которая делится вершинами вписанного правильного треугольника и равна 4π см?

Для начала, обратимся к свойству правильного треугольника. У правильного треугольника все стороны равны, а углы равны 60 градусов. Также заметим, что окружность, описанная вокруг правильного треугольника, касается всех его сторон в серединах.

Теперь рассмотрим дугу окружности. Для правильного треугольника она делится на три равные части по 120 градусов каждая. Длина дуги, которая отвечает за одну из этих частей, может быть найдена по формуле:

\[ S = \frac{{\theta \times d}}{{360}} \]

где \( S \) - длина дуги, \( \theta \) - центральный угол в градусах, а \( d \) - диаметр окружности.

В данной задаче условие устанавливает, что длина дуги равна 4π см. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[ 4\pi = \frac{{120 \times d}}{{360}} \]

Теперь найдем диаметр окружности:

\[ d = \frac{{4\pi \times 360}}{{120}} = 12\pi \]

Таким образом, диаметр окружности равен 12π см. Поскольку мы искали длину дуги, ответ составляет 4π см.

Перейдем ко второй части задачи: Какова площадь круга, вписанного в этот треугольник, в квадратных сантиметрах?

Здесь нам понадобится другое свойство вписанного треугольника. Легко заметить, что центр круга находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Так как треугольник является правильным, биссектриса делит угол на два равных угла по 30 градусов каждый. Это означает, что каждый угол треугольника составляет 60 градусов.

Теперь мы можем приступить к вычислению радиуса круга. Радиус вписанного круга равен расстоянию от центра круга до любой стороны треугольника (т.е. до биссектрисы). Можно заметить, что это также является расстоянием от центра круга до середины стороны треугольника.

Длина стороны треугольника также является диаметром окружности. Мы уже вычислили, что диаметр окружности составляет 12π см, поэтому длина одной стороны треугольника равна 12π см.

Теперь мы можем найти радиус круга:

\[ r = \frac{{12\pi}}{{2}} = 6\pi \]

Теперь, когда у нас есть радиус круга, мы можем вычислить его площадь, используя формулу:

\[ S = \pi \times r^2 \]

Подставим значение радиуса:

\[ S = \pi \times (6\pi)^2 \]

\[ S = \pi \times 36\pi^2 \]

\( S = 36\pi^3 \) квадратных сантиметров.

Таким образом, площадь круга, вписанного в данный треугольник, равна 36π^3 квадратных сантиметров.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять решение задачи. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!