Какова длина гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника ABC, если проведена высота CD, равная

Medvezhonok

7

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Мы имеем прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, в котором проведена высота CD (смотрите на рисунок ниже). Для начала, давайте определим известные данные и используем формулы для нахождения искомой длины гипотенузы.

\[
\begin{array}{c}
\text{Прямоугольный равнобедренный треугольник ABC} \\
\text{Проведена высота CD}
\end{array}
\]

\[AB = AC = a\] (сторона треугольника)
\[BC = a\sqrt{2}\] (гипотенуза)
\[CD = h\] (высота)

\[
\begin{array}{c}
\text{Высота CD делит треугольник на 2 прямоугольных треугольника} \\
\text{Обозначим точку пересечения высоты и гипотенузы как E}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
\triangle ACD \text{ и } \triangle ABE \text{ - подобные треугольники} \\
\text{Поэтому мы можем записать отношение длин сторон:} \\
\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AD}}
\end{array}
\]

Теперь, используем известные значения:
\[
\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AD}}
\]
\[
\frac{{a}}{{a}} = \frac{{AE}}{{h}}
\]
\[
1 = \frac{{AE}}{{h}}
\]
\[
AE = h
\]

Таким образом, длина отрезка AE (или BE) равна h. Она представляет собой половину высоты треугольника.

Также, по теореме Пифагора, мы можем записать:

\[
\begin{array}{c}
BE^2 + AE^2 = AB^2 \\
h^2 + h^2 = a^2
\end{array}
\]

Объединяя эти два уравнения, мы можем решить уравнение относительно гипотенузы:

\[
2h^2 = a^2
\]
\[
h^2 = \frac{{a^2}}{2}
\]
\[
h = \sqrt{\frac{{a^2}}{2}}
\]

Таким образом, длина высоты равна \(h = \sqrt{\frac{{a^2}}{2}}\).

Наконец, находим длину гипотенузы BC, используя теорему Пифагора:

\[
BC^2 = BE^2 + CE^2
\]
\[
BC^2 = h^2 + h^2
\]
\[
BC^2 = 2h^2
\]
\[
BC = \sqrt{2h^2}
\]
\[
BC = \sqrt{2} \cdot h
\]
\[
BC = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{{a^2}}{2}}
\]
\[
BC = \sqrt{\frac{{2a^2}}{2}}
\]
\[
BC = \sqrt{a^2}
\]
\[
BC = a
\]

Таким образом, длина гипотенузы \(BC\) равна \(a\).

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как найти длину гипотенузы прямоугольного равнобедренного треугольника в задаче с проведенной высотой. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!