Какова длина хорды АВ, если она образует угол 45° с диаметром окружности АС, и радиус окружности известен?

Снежинка

58

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся основные свойства окружностей и геометрии.

Дано, что угол АВС равен 45° и АС является диаметром окружности. Пусть радиус окружности будет обозначен как R.

Первое, что нам нужно сделать, это понять, как связаны углы, образованные хордой и радиусом, со свойствами окружности. Мы знаем, что угол, образованный хордой и радиусом, равен половине угла, образованного хордой в центре окружности. То есть угол ВАС (показанный на рисунке) равен 45°/2 = 22.5°.


Теперь мы можем использовать тригонометрические отношения для нахождения длины хорды АВ. Поскольку у нас есть угол ВАС и радиус R, мы можем использовать синус этого угла:

\[
\sin(22.5°) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Здесь противолежащий катет - это половина длины хорды АВ, а гипотенуза - это радиус R.

Таким образом, мы можем переписать формулу как:

\[
\frac{{\text{{длина хорды АВ}}}}{2R} = \sin(22.5°)
\]

Чтобы найти длину хорды АВ, нам нужно умножить обе стороны на 2R:

\[
\text{{длина хорды АВ}} = 2R \cdot \sin(22.5°)
\]

Теперь мы можем рассчитать значение этого выражения, зная значение радиуса R. Подставим значение радиуса и выполним вычисления:

\[
\text{{длина хорды АВ}} = 2 \cdot R \cdot \sin(22.5°)
\]

Таким образом, мы нашли длину хорды АВ в зависимости от известного значения радиуса окружности и угла, образованного хордой и диаметром окружности.