Какова длина хорды, при условии, что две хорды окружности АВ и МК пересекаются в точке Р, АР равно 2 см, РВ равно

Vadim

55

Чтобы определить длину хорды, образованной пересечением двух хорд окружности, нам потребуется использовать теорему о произведении отрезков, образованных пересекающимися хордами. Эта теорема гласит, что в любой окружности произведение длин отрезков пересекающихся хорд равно произведению длин отрезков, находящихся вне их пересечения. Давайте применим эту теорему к нашей задаче.

У нас имеются две хорды, АВ и МК, которые пересекаются в точке Р. Пусть длина отрезка МР равна х, то есть отрезок АМ равен 2х, а отрезок ВР равен 16 см.

Используя теорему о произведении отрезков, мы можем записать следующее уравнение:

\(АМ \cdot МР = ВМ \cdot РК\)

Подставив известные значения, получим:

\(2х \cdot х = ВМ \cdot 16\)

\(2х^2 = ВМ \cdot 16\)

Мы знаем, что отрезок ВР равен 16 см, поэтому ВМ равно сумме отрезков ВР и РМ:

\(ВМ = ВР + РМ = 16 + х\)

Подставим это значение в уравнение:

\(2х^2 = (16 + х) \cdot 16\)

Теперь решим это уравнение. Упростим его:

\(2х^2 = 16 \cdot 16 + х \cdot 16\)

\(2х^2 = 256 + 16х\)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

\(2х^2 - 16х - 256 = 0\)

Уравнение получилось квадратным. Решим его с помощью дискриминанта.

Дискриминант вычисляется по формуле:

\(D = b^2 - 4ac\)

В нашем случае:

\(a = 2\), \(b = -16\), \(c = -256\)

\(D = (-16)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-256)\)

\(D = 256 + 2048\)

\(D = 2304\)

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

\(х_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)

\(х_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения:

\(х_1 = \frac{-(-16) + \sqrt{2304}}{2 \cdot 2}\)

\(х_1 = \frac{16 + 48}{4}\)

\(х_1 = \frac{64}{4}\)

\(х_1 = 16\)

\(х_2 = \frac{-(-16) - \sqrt{2304}}{2 \cdot 2}\)

\(х_2 = \frac{16 - 48}{4}\)

\(х_2 = \frac{-32}{4}\)

\(х_2 = -8\)

Мы получили два значения для х. Однако в задаче сказано, что отрезок МР в 2 раза больше отрезка РВ. Это означает, что отрезок МР не может быть отрицательным, поэтому отбрасываем значение х = -8.

Таким образом, длина хорды, образованной пересечением хорд АВ и МК, равна:

\(АМ = 2х = 2 \cdot 16 = 32\) см