Какова длина хорды, при условии, что две хорды окружности АВ и МК пересекаются в точке Р, АР равно 2 см, РВ равно

  • 7
Какова длина хорды, при условии, что две хорды окружности АВ и МК пересекаются в точке Р, АР равно 2 см, РВ равно 16 см, и отрезок МР в 2 раза больше отрезка РК?
Vadim
55
Чтобы определить длину хорды, образованной пересечением двух хорд окружности, нам потребуется использовать теорему о произведении отрезков, образованных пересекающимися хордами. Эта теорема гласит, что в любой окружности произведение длин отрезков пересекающихся хорд равно произведению длин отрезков, находящихся вне их пересечения. Давайте применим эту теорему к нашей задаче.

У нас имеются две хорды, АВ и МК, которые пересекаются в точке Р. Пусть длина отрезка МР равна х, то есть отрезок АМ равен 2х, а отрезок ВР равен 16 см.

Используя теорему о произведении отрезков, мы можем записать следующее уравнение:

АММР=ВМРК

Подставив известные значения, получим:

2хх=ВМ16

2х2=ВМ16

Мы знаем, что отрезок ВР равен 16 см, поэтому ВМ равно сумме отрезков ВР и РМ:

ВМ=ВР+РМ=16+х

Подставим это значение в уравнение:

2х2=(16+х)16

Теперь решим это уравнение. Упростим его:

2х2=1616+х16

2х2=256+16х

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

2х216х256=0

Уравнение получилось квадратным. Решим его с помощью дискриминанта.

Дискриминант вычисляется по формуле:

D=b24ac

В нашем случае:

a=2, b=16, c=256

D=(16)242(256)

D=256+2048

D=2304

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два корня:

х1=b+D2a

х2=bD2a

Подставим значения:

х1=(16)+230422

х1=16+484

х1=644

х1=16

х2=(16)230422

х2=16484

х2=324

х2=8

Мы получили два значения для х. Однако в задаче сказано, что отрезок МР в 2 раза больше отрезка РВ. Это означает, что отрезок МР не может быть отрицательным, поэтому отбрасываем значение х = -8.

Таким образом, длина хорды, образованной пересечением хорд АВ и МК, равна:

АМ=2х=216=32 см