Какова длина катета, противолежащего углу в 30°, если площадь прямоугольного треугольника составляет 648√3?

Lunnyy_Renegat

46

Для решения данной задачи, нам необходимо учесть, что мы имеем дело с прямоугольным треугольником, где один из углов равен 90°, а другой угол известен и составляет 30°.

Если катет противолежащий углу в 30° обозначить как \(a\), то его длину мы ищем.

Также у нас есть информация о площади треугольника, которая составляет \(648\sqrt{3}\).

Формула для площади прямоугольного треугольника выражается следующим образом:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Так как мы знаем площадь треугольника и длину одного катета (\(a\)), мы можем найти длину второго катета (\(b\)):

\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\]

\[
648\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
\]

\[
1296\sqrt{3} = a \cdot b
\]

Теперь нам необходимо использовать известное нам значение угла в 30°, чтобы найти отношение между длиной катета \(a\) и длиной гипотенузы \(c\). В прямоугольном треугольнике, отношение длины катета к длине гипотенузы при угле 30° равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Используем это отношение для нахождения длины гипотенузы \(c\):

\[
\frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Теперь мы можем выразить длину гипотенузы \(c\) через длину катета \(a\):

\[
c = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}
\]

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где \(c\) - длина гипотенузы, а \(a\) и \(b\) - длины катетов, имеем:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

В нашем случае:

\[
\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)^2 = a^2 + b^2
\]

\[
\frac{4a^2}{3} = a^2 + b^2
\]

\[
4a^2 = 3a^2 + 3b^2
\]

\[
b^2 = a^2
\]

Так как \(b\) и \(a\) - длины катетов, и они не могут быть отрицательными, то мы можем исключить решение, где \(b\) равно \(-a\). Это означает, что \(b = a\).

Теперь мы можем записать уравнение, используя только одну переменную:

\[
2a^2 = 648\sqrt{3}
\]

\[
a^2 = 324\sqrt{3}
\]

\[
a = \sqrt{324\sqrt{3}}
\]

\[
a = \sqrt{36 \cdot 9 \cdot \sqrt{3}}
\]

\[
a = \sqrt{6^2 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{3}}
\]

\[
a = 6 \cdot 3 \sqrt{\sqrt{3}}
\]

\[
a = 18 \sqrt{\sqrt{3}}
\]

Таким образом, длина катета, противолежащего углу в 30°, составляет \(18 \sqrt{\sqrt{3}}\).