Определите косинус угла между векторами m 5a+b и n 2a-b при условии, что a взаимно перпендикулярен b

Кристальная_Лисица

42

Чтобы найти косинус угла между векторами \(m = 5a + b\) и \(n = 2a - b\), нам понадобится использовать определение косинуса угла между двумя векторами.

Определение косинуса угла между двумя векторами гласит, что косинус угла \(\theta\) между векторами \(u\) и \(v\) может быть вычислен как отношение скалярного произведения векторов \(u\) и \(v\) к произведению модулей этих векторов:

\[
\cos(\theta) = \frac{{u \cdot v}}{{\|u\| \cdot \|v\|}}
\]

где \(\|u\|\) и \(\|v\|\) - это модули (длины) векторов \(u\) и \(v\), а \(u \cdot v\) - скалярное произведение этих векторов.

В нашем случае, у нас есть векторы \(m = 5a + b\) и \(n = 2a - b\). Давайте вычислим их модули и скалярное произведение, чтобы найти косинус угла между ними.

1. Вычисление модулей векторов:
Модуль вектора \(m\) равен:
\(\|m\| = \sqrt{{(5a + b) \cdot (5a + b)}} = \sqrt{{25a^2 + 10ab + b^2}}\)

Модуль вектора \(n\) равен:
\(\|n\| = \sqrt{{(2a - b) \cdot (2a - b)}} = \sqrt{{4a^2 - 4ab + b^2}}\)

2. Вычисление скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов \(m\) и \(n\) равно:
\(m \cdot n = (5a + b) \cdot (2a - b) = 10a^2 - 10ab + 5ab - b^2 = 10a^2 - 5ab - b^2\)

3. Подставляем найденные значения в формулу косинуса угла:
\(\cos(\theta) = \frac{{m \cdot n}}{{\|m\| \cdot \|n\|}} = \frac{{10a^2 - 5ab - b^2}}{{\sqrt{{25a^2 + 10ab + b^2}} \cdot \sqrt{{4a^2 - 4ab + b^2}}}}\)

Таким образом, косинус угла между векторами \(m = 5a + b\) и \(n = 2a - b\) выражается формулой:

\(\cos(\theta) = \frac{{10a^2 - 5ab - b^2}}{{\sqrt{{25a^2 + 10ab + b^2}} \cdot \sqrt{{4a^2 - 4ab + b^2}}}}\)