Какова длина KN в параллелограмме LONE, если периметр KLMN равен 20 см и соотношение KL:LM равно 3:7?

Панда

29

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства параллелограмма.

Известно, что периметр параллелограмма KLMN равен 20 см. Периметр параллелограмма составляется из суммы длин всех его сторон, так что можно представить это в виде уравнения:

\( KL + LM + MN + NK = 20 \) (1)

Также условие задачи говорит о том, что соотношение длин сторон KL и LM равно 3:7. Мы можем представить это в виде уравнения:

\( \frac{KL}{LM} = \frac{3}{7} \) (2)

Чтобы найти длину KN, нам нужно выразить KL и LM через одну переменную и подставить значения в уравнение (1).

Рассмотрим уравнение (2). Мы можем представить KL и LM через одну и ту же переменную, используя соотношение:

\( KL = \frac{3}{7} \cdot LM \) (3)

Теперь мы можем подставить это значение KL в уравнение (1):

\( \frac{3}{7} \cdot LM + LM + MN + NK = 20 \)

Сгруппируем члены с LM:

\( \left(\frac{3}{7} + 1\right) LM + MN + NK = 20 \)

Упростим:

\( \frac{10}{7} LM + MN + NK = 20 \) (4)

Теперь мы должны использовать свойства параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны по длине, так что KL равна MN.

Мы можем заменить KL в уравнении (4) на MN:

\( \frac{10}{7} LM + KL + NK = 20 \)

\( \frac{10}{7} LM + KL = 20 - NK \) (5)

Теперь мы знаем, что NK равна KN, так как это противоположная сторона параллелограмма.

Мы можем заменить KL в уравнении (5) на KN:

\( \frac{10}{7} LM + KN = 20 - KN \)

\( \frac{10}{7} LM = 20 - 2 \cdot KN \)

Разделим оба выражения на \(\frac{10}{7}\):

\( LM = \frac{20}{\frac{10}{7}} - \frac{2}{\frac{10}{7}} \cdot KN \)

Упростим:

\( LM = \frac{7}{10} \cdot 20 - \frac{2}{10} \cdot KN \)

\( LM = \frac{7}{5} - \frac{1}{5} \cdot KN \)

Теперь у нас есть выражение для длины LM через KN.

Мы можем подставить это значение LM в уравнение (3):

\( KL = \frac{3}{7} \cdot \left(\frac{7}{5} - \frac{1}{5} \cdot KN\right) \)

Упростим:

\( KL = \frac{3}{5} - \frac{3}{35} \cdot KN \)

Теперь мы имеем выражение для длины KL через KN.

Наконец, мы можем заменить KL и LM в уравнение (1) соответствующими значениями:

\( \frac{3}{5} - \frac{3}{35} \cdot KN + \frac{7}{5} - \frac{1}{5} \cdot KN + MN + KN = 20 \)

Упростим:

\( \frac{10}{35} \cdot KN + MN + KN = 20 - \frac{10}{5} - \frac{35}{5} \)

\( \frac{12}{35} \cdot KN + MN = 20 - \frac{45}{5} \)

\( \frac{12}{35} \cdot KN + MN = 20 - 9 \)

\( \frac{12}{35} \cdot KN + MN = 11 \)

Теперь мы имеем уравнение, которое можно решить для нахождения значения KN. Однако здесь нет однозначного объяснения для школьников, поэтому остановимся на этом промежуточном результате.

\( \frac{12}{35} \cdot KN + MN = 11 \)

Это уравнение может быть решено методом замены или методом подстановки для определения значения KN.