Какой корень имеет приведённый квадратный трёхчлен f(x), который касается прямой y=4x и имеет с ней одну общую точку?
Какой корень имеет приведённый квадратный трёхчлен f(x), который касается прямой y=4x и имеет с ней одну общую точку?
Софья 63
Для начала, давайте запишем выражение для заданного квадратного трёхчлена \( f(x) \):\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) - это коэффициенты трёхчлена.
Нам также известно, что прямая \( y = 4x \) является касательной для \( f(x) \) и имеет одну общую точку с ней. Поскольку прямая \( y = 4x \) касается графика функции, у них будет одна общая точка, и эта точка будет являться точкой касания. Значит, уравнение для нахождения этой точки касания будет иметь следующий вид:
\[ f(x) = 4x \]
С учётом этого условия, наша задача заключается в том, чтобы найти коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \) так, чтобы выражение \( f(x) \) имело одну общую точку с прямой \( y = 4x \).
Для того чтобы решить эту задачу, нам нужно составить систему уравнений, объединяющую уравнение \( f(x) = 4x \) и выражение для \( f(x) \). Используя коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \), получаем следующую систему уравнений:
\[
\begin{cases}
ax^2 + bx + c = 4x \\
-4x + ax^2 + bx + c = 0
\end{cases}
\]
Теперь, нам нужно решить эту систему уравнений для \( x \), чтобы найти общую точку.
Подставим значение \( ax^2 + bx + c \) во второе уравнение и уберём одинаковые слагаемые:
\[
-4x + ax^2 + bx + c = 0
\]
\[
ax^2 + (b-4)x + (c) = 0
\]
Таким образом, мы получили квадратное уравнение.
Из данного уравнения мы можем выразить \( x \) с помощью квадратного уравнения \( ax^2 + (b-4)x + (c) = 0 \) и решить его с использованием квадратного корня:
\[ x = \frac{-(b-4) \pm \sqrt{(b-4)^2 - 4a(c)}}{2a} \]
На данном этапе, чтобы завершить решение задачи, нам нужно составить уравнение, имеющее единственный корень. То есть, дискриминант \( D \) должен быть равен нулю:
\[ D = (b-4)^2 - 4a(c) = 0 \]
Теперь, мы можем найти значение \( a \), \( b \) и \( c \), удовлетворяющие условию дискриминанта равного нулю. Это позволит нам найти корень трёхчлена, который касается прямой \( y = 4x \) и имеет с ней одну общую точку.