Какой корень имеет приведённый квадратный трёхчлен f(x), который касается прямой y=4x и имеет с ней одну общую точку?

Софья

63

Для начала, давайте запишем выражение для заданного квадратного трёхчлена $f(x)$:

$$f(x)=a{x}^2+bx+c$$

где $a$, $b$ и $c$ - это коэффициенты трёхчлена.

Нам также известно, что прямая $y=4x$ является касательной для $f(x)$ и имеет одну общую точку с ней. Поскольку прямая $y=4x$ касается графика функции, у них будет одна общая точка, и эта точка будет являться точкой касания. Значит, уравнение для нахождения этой точки касания будет иметь следующий вид:

$$f(x)=4x$$

С учётом этого условия, наша задача заключается в том, чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$ так, чтобы выражение $f(x)$ имело одну общую точку с прямой $y=4x$.

Для того чтобы решить эту задачу, нам нужно составить систему уравнений, объединяющую уравнение $f(x)=4x$ и выражение для $f(x)$. Используя коэффициенты $a$, $b$ и $c$, получаем следующую систему уравнений:

$$\{\begin{array}{l}a{x}^2+bx+c=4x\\ -4x+a{x}^2+bx+c=0\end{array}$$

Теперь, нам нужно решить эту систему уравнений для $x$, чтобы найти общую точку.

Подставим значение $a{x}^2+bx+c$ во второе уравнение и уберём одинаковые слагаемые:

$$-4x+a{x}^2+bx+c=0$$
$$a{x}^2+(b-4)x+(c)=0$$

Таким образом, мы получили квадратное уравнение.

Из данного уравнения мы можем выразить $x$ с помощью квадратного уравнения $a{x}^2+(b-4)x+(c)=0$ и решить его с использованием квадратного корня:

$$x=\frac{-(b-4)\pm \sqrt{(b-4{)}^2-4a(c)}}{2a}$$

На данном этапе, чтобы завершить решение задачи, нам нужно составить уравнение, имеющее единственный корень. То есть, дискриминант $D$ должен быть равен нулю:

$$D=(b-4{)}^2-4a(c)=0$$

Теперь, мы можем найти значение $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющие условию дискриминанта равного нулю. Это позволит нам найти корень трёхчлена, который касается прямой $y=4x$ и имеет с ней одну общую точку.