Какова длина линии пересечения сферы и плоскости, если диаметр шара равен 2 м и плоскость проходит через конец диаметра

Летучий_Пиранья

26

Для решения этой задачи, давайте представим себе ситуацию на рисунке.

Дано, что у нас есть сфера с диаметром 2 м. Давайте обозначим её центр как точку O, а конец диаметра как точку A.

Затем у нас есть плоскость, которая проходит через конец диаметра под углом 45° к нему. Давайте обозначим точку пересечения плоскости со сферой как точку B. Заметим, что плоскость должна быть касательной к сфере в точке B.

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

Шаг 1: Нахождение координат точек O, A и B
Для начала, нам необходимо найти координаты точек O, A и B. Поскольку диаметр равен 2 м, то точка O будет находиться посередине диаметра, и её координаты будут (1, 0, 0), где первая цифра обозначает координату по оси X.

Точка A - конец диаметра, и поскольку она находится на сфере, её координаты будут (2, 0, 0).

Теперь давайте найдем координаты точки B. Поскольку плоскость проходит через конец диаметра, то она "срезает" сферу и касается её только в точке B. Затем плоскость проходит под углом 45° к диаметру. Чтобы найти координаты точки B, мы должны использовать тригонометрию.

Шаг 2: Использование тригонометрии для нахождения координат точки B
Мы знаем, что плоскость проходит через точку A и образует угол 45° с диаметром. Поэтому мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти координаты точки B.

Поскольку мы знаем длину диаметра (2 м) и угол 45°, мы можем найти расстояние от точки A (2, 0, 0) до точки B. Это будет половиной диаметра, так как плоскость проходит через середину диаметра. Поэтому расстояние от точки A до точки B равно 1 м.

Теперь у нас есть расстояние от точки A до точки B (1 м) и угол между диаметром и плоскостью (45°). Но как найти координаты точки B?

Мы знаем, что точка B должна находиться на плоскости, проходящей под углом 45° к диаметру сферы. Таким образом, проекция точки B на плоскость должна находиться на прямой, проходящей через точку A и находиться в плоскости XY (т.е. третья координата равна нулю).

Находим координаты точки B

Мы знаем, что точка B должна находиться на прямой, проходящей через точку A и находиться в плоскости XY (т.е. третья координата равна нулю). Так как расстояние от точки A до точки B равно 1 м, мы можем рассчитать координаты точки B.

Для нахождения координат точки B, мы можем использовать следующую формулу:

\[B = A + \frac{{AB}}{{|AB|}} \times d\]

где A = (2, 0, 0) - координаты точки A, AB - вектор, соединяющий точки A и B, d - расстояние от точки A до точки B.

Мы уже знаем координаты точки A и расстояние AB (1 м), поэтому применяем эти значения к формуле:

\[B = (2, 0, 0) + \frac{{(2,0,0 - 1,0,0)}}{{|(2,0,0 - 1,0,0)|}} \times 1\]

\[B = (2, 0, 0) + \frac{{(1, 0, 0)}}{{|(1, 0, 0)|}} \times 1\]

\[B = (2, 0, 0) + (1, 0, 0) \times 1\]

\[B = (3, 0, 0)\]

Таким образом, координаты точки B равны (3, 0, 0).

Получение длины линии пересечения сферы и плоскости

Теперь, когда у нас есть координаты точек O, A и B, мы можем найти длину линии пересечения сферы и плоскости. Линия пересечения будет отрезком AB, поэтому нам нужно найти длину этого отрезка.

Мы знаем, что длина отрезка AB равна расстоянию между точками A и B. Применяем формулу для нахождения расстояния между двумя точками:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты точек A и B.

Подставляем координаты точек A и B в формулу:

\[d = \sqrt{{(3 - 2)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2}}\]

\[d = \sqrt{{1^2}}\]

\[d = 1\]

Таким образом, длина линии пересечения сферы и плоскости равна 1 м.

Теперь у нас есть искомый ответ: длина линии пересечения сферы и плоскости равна 1 м.