Какова длина линии пересечения сферы радиусом 10см и плоскости, проходящей на расстоянии 6см от центра сферы?

Okean

44

Чтобы найти длину линии пересечения сферы радиусом 10см и плоскости, проходящей на расстоянии 6см от центра сферы, нужно выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Запишем уравнение сферы, используя формулу:
\[(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2\]

где (a, b, c) - координаты центра сферы, r - радиус сферы. В данной задаче рассматривается сфера радиусом 10см, поэтому уравнение будет:
\[(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2 = 10^2\]
\[x^2 + y^2 + z^2 = 100\]

Шаг 2: Запишем уравнение плоскости. Нам известно, что плоскость проходит на расстоянии 6см от центра сферы, поэтому расстояние от центра сферы до плоскости будет равно 6. Используя формулу расстояния от точки до плоскости, получим уравнение плоскости:
\[Ax + By + Cz + D = 0\]

где A, B, C - коэффициенты плоскости, D - расстояние от плоскости до начала координат. Заметим, что начало координат совпадает с центром сферы в данной задаче. Таким образом, у нас будет:
\[Ax + By + Cz + D = 0\]
\[A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D = 0\]
\[D = 0\]

Шаг 3: Подставим координаты центра сферы (0, 0, 0) и полученное значение D в уравнение плоскости:
\[Ax + By + Cz + D = 0\]
\[A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z = 0\]

Шаг 4: Решим систему уравнений сферы и плоскости:
\[\begin{cases}
x^2 + y^2 + z^2 = 100 \\
Ax + By + Cz = 0
\end{cases}\]

Шаг 5: Уравнение плоскости представим в параметрической форме:
\[\begin{cases}
x = x_0 + at \\
y = y_0 + bt \\
z = z_0 + ct
\end{cases}\]

где (x_0, y_0, z_0) - точка на плоскости, (a, b, c) - направляющие векторы плоскости, t - параметр.

Шаг 6: Подставим значения из уравнения плоскости в уравнение сферы:
\[(x_0 + at)^2 + (y_0 + bt)^2 + (z_0 + ct)^2 = 100\]
\[a^2t^2 + b^2t^2 + c^2t^2 + 2x_0at + 2y_0bt + 2z_0ct + x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 100\]

Шаг 7: Выполним группировку и приведение подобных членов:
\[(a^2+b^2+c^2)t^2 + 2(x_0a + y_0b + z_0c)t + (x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 100) = 0\]

Шаг 8: Заметим, что уравнение удачно получилось квадратным и решим его. Получим два значения параметра t - t_1 и t_2.

Шаг 9: Для получения точек пересечения сферы и плоскости подставим найденные значения параметра t в уравнение плоскости из шага 5. Получим две точки пересечения:
\[\begin{cases}
x_1 = x_0 + at_1 \\
y_1 = y_0 + bt_1 \\
z_1 = z_0 + ct_1
\end{cases}\]

\[\begin{cases}
x_2 = x_0 + at_2 \\
y_2 = y_0 + bt_2 \\
z_2 = z_0 + ct_2
\end{cases}\]

Шаг 10: Найдем расстояние между найденными точками пересечения. Для этого воспользуемся формулой длины отрезка в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Шаг 11: Подставим значения координат в формулу и выполним необходимые вычисления, чтобы найти длину линии пересечения.

Последовательность шагов позволяет найти длину линии пересечения сферы и плоскости, проходящей на расстоянии 6см от центра сферы. Выполнив все этапы с описанным обоснованием, можно получить подробное и понятное решение для школьника.