Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если его площадь равна 200, а тангенс одного из углов равен

Сладкая_Бабушка

34

Давайте решим задачу по порядку. У нас есть прямоугольный треугольник, и мы хотим найти длину меньшего катета.

Нам дано две информации: площадь треугольника и тангенс одного из его углов. Давайте вначале воспользуемся формулой площади треугольника:

\[Площадь = \frac{{a \cdot b}}{2}\]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

Мы знаем, что площадь равна 200, поэтому мы можем записать уравнение:

\[200 = \frac{{a \cdot b}}{2}\]

Далее, нам нужно воспользоваться информацией о тангенсе угла. Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В данном случае, пусть угол, тангенс которого нам известен, будет \(\alpha\), тогда мы можем записать:

\[\tan(\alpha) = \frac{{a}}{{b}} = 0,25\]

Теперь, у нас есть два уравнения:

\[200 = \frac{{a \cdot b}}{2}\]
\[\frac{{a}}{{b}} = 0,25\]

Давайте решим эту систему уравнений. Выразим \(a\) из второго уравнения:

\[a = 0,25 \cdot b\]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[200 = \frac{{0,25 \cdot b \cdot b}}{2}\]

Для простоты расчетов, умножим обе части уравнения на 2:

\[400 = 0,25 \cdot b \cdot b\]

Теперь, избавимся от десятичной дроби, умножив обе части уравнения на 4:

\[1600 = b \cdot b\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[b = \sqrt{1600}\]

Так как длина не может быть отрицательной, получаем:

\[b = 40\]

Таким образом, длина меньшего катета прямоугольного треугольника равна 40.