Какова длина меньшей диагонали ромба, если сумма двух его углов равна 240°, а периметр

Solnechnaya_Zvezda

46

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства ромба и знание о сумме углов в нем.

1. Свойства ромба гласят, что все его стороны равны между собой, а диагонали делят его углы пополам.

2. Пусть сторона ромба равна \(a\), а длина меньшей диагонали равна \(d\).

3. Периметр ромба вычисляется как сумма длин всех его сторон, то есть \(P = 4a\).

4. Также, сумма углов в ромбе равна \(360^\circ\).

5. Из условия задачи дано, что сумма двух углов ромба равна \(240^\circ\), следовательно, оставшийся третий угол также равен \(240^\circ\).

6. Заметим, что оставшиеся углы ромба делятся диагоналями пополам и образуют прямоугольный треугольник.

7. Вспомним, что сумма углов в прямоугольном треугольнике равна \(180^\circ\), а значит, угол ромба равен \(180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).

8. Найдем величину одного из углов треугольника, образованного диагоналями, \(A\), с помощью следующих соображений: угол ромба равен углу между диагоналями, а сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).

9. Поэтому, \(A = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ\).

10. Отсюда следует, что два оставшихся угла треугольника равны \(45^\circ\).

11. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный сторонами ромба и половиной диагонали.

12. Мы знаем, что в таком треугольнике один угол равен \(90^\circ\), а два острых угла равны \(45^\circ\).

13. Вспомним правило о сумме углов в треугольнике, согласно которому сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).

14. Значит, третий угол этого треугольника также равен \(180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).

15. Получили треугольник с тремя углами по \(45^\circ\), что значит, он равнобедренный.

16. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны между собой. Поэтому, равны между собой и две половины диагонали, образованные в рамках ромба.

17. Следовательно, половина меньшей диагонали равна половине стороны ромба, то есть \(\frac{d}{2} = \frac{a}{2}\).

18. Отсюда получаем, что длина меньшей диагонали равна длине стороны ромба, \(d = a\).

19. Изначально нам было дано, что периметр ромба равен \(P = 4a\).

20. Как мы выяснили, длина меньшей диагонали равна длине стороны ромба, так что можно записать \(d = a\).

21. Подставим это в уравнение периметра ромба: \(P = 4d\).

22. Получаем, что длина меньшей диагонали ромба равна \(\frac{P}{4}\).

Таким образом, ответом на задачу является длина меньшей диагонали ромба равна \(\frac{P}{4}\).