Какова длина отрезка LZ в метрах, если прямая RH является высотой параллелограмма KLMN, а точки R и Z - середины сторон

Son

23

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства серединных перпендикуляров и параллельных прямых.

В данной задаче у нас есть параллелограмм KLMN, высотой которого является прямая RH. Мы также знаем, что точки R и Z являются серединами сторон LM и KN соответственно.

Давайте рассмотрим серединный перпендикуляр к стороне LM, проходящий через точку R. По свойству серединных перпендикуляров, он будет проходить через середину стороны LM и быть перпендикулярным к этой стороне. Аналогично, проходящий через точку Z серединный перпендикуляр к стороне KN будет проходить через середину стороны KN и быть перпендикулярным к этой стороне.

Теперь нарисуем чертеж, чтобы визуально представить ситуацию.

\[
\begin{array}{ccccccccccccccc}
& & & & & L & & & & & & M & & & \\
& & & & \uparrow & \mid & & & \mid & \uparrow & & \mid & & & \\
& & & & R & & & & & Z & & & & \\
& & & \nearrow & & & \nwarrow & & \nwarrow & & & \nearrow & & & \\
K & & & & & & \square & & & & & & N & & \\
\end{array}
\]

Возьмем перпендикуляр к стороне LM, проходящий через точку R. Обозначим точку пересечения этого перпендикуляра с прямой RH как X. Так как прямая RH является высотой, то R и X будут образовывать прямой угол. Аналогично, перпендикуляр к стороне KN, проходящий через точку Z, пересекает прямую RH в точке Y.

Теперь рассмотрим треугольники RXH и ZYH. Оба этих треугольника являются прямоугольными треугольниками, так как основаниям высот являются прямые RX и ZY, а углы RXH и ZYH прямые углы. Три стороны этих треугольников образуют прямую RH, и каждая из них равна половине длины сторон параллелограмма KLMN.

Обозначим длину отрезка LX как \(\ell\). Так как R является серединой стороны LM, то длина LR также будет равна \(\ell\). Аналогично, длина HZ будет равна \(\ell\).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник LHZ. Здесь длина отрезка LZ будет равна сумме длин отрезков LH и HZ. Так как длина HZ также равна \(\ell\), нам остается найти длину отрезка LH.

Треугольник LHX является прямоугольным треугольником, так как L и X образуют прямой угол, а длины сторон LH и LX равны между собой. Таким образом, по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике LHX мы можем записать:

\[LH^2 = LX^2 + HX^2\]

Так как LX равна \(\ell\) и угол LHX прямой, длина HX будет равна \(\frac{\ell}{2}\). Подставляя эти значения в уравнение, получаем:

\[LH^2 = \ell^2 + \left(\frac{\ell}{2}\right)^2 = \ell^2 + \frac{\ell^2}{4} = \frac{5}{4}\ell^2\]

Теперь можем выразить длину отрезка LH:

\[LH = \sqrt{\frac{5}{4}\ell^2} = \frac{\ell}{2}\sqrt{5}\]

Изображение треугольника LHX:

\[
\begin{array}{cccc}
& & & L \\
& & / & \backslash \\
& \ell & / & \backslash \\
& / & \backslash & \backslash \\
H & & X & \\
\end{array}
\]

Осталось только найти длину отрезка LZ, которая будет равна:

\[LZ = LH + HZ = \frac{\ell}{2}\sqrt{5} + \ell = \left(\frac{\sqrt{5}}{2} + 1\right)\ell\]

Таким образом, длина отрезка LZ равна \(\left(\frac{\sqrt{5}}{2} + 1\right)\ell\) метров.