Какова длина пути груза, укрепленного на пружине и движущегося по закону x = 0,4sin4пt, за одну минуту? Требуется

Звонкий_Спасатель

42

Для решения этой задачи нам понадобится некоторое знание в области физики. Мы имеем закон движения \(x = 0,4\sin(4\pi t)\), где \(x\) - координата груза в зависимости от времени \(t\). Нам нужно найти длину пути, которую груз пройдет за одну минуту.

Первым шагом будем находить моменты времени, при которых груз находится в начальной позиции (\(x = 0\)). Это происходит, когда аргумент синуса равен нулю, то есть \(4\pi t = 0\). Так как мы хотим найти длину пути за одну минуту, рассмотрим интервал времени от \(t = 0\) до \(t = 1\).

Найдем моменты времени, соответствующие условию \(4\pi t = 0\):
\[t = \frac{0}{4\pi} = 0\]

Теперь найдем моменты времени, когда груз снова находится в начальной позиции (\(x = 0\)). Для этого решим уравнение \(0,4\sin(4\pi t) = 0\). Вспомним, что синус равен нулю в таких точках, как \(\pi\), \(2\pi\), \(3\pi\), и так далее. В данном случае нам интересны моменты времени в пределах одной минуты, поэтому рассмотрим интервал от \(t = 0\) до \(t = 1\).

\[4\pi t = \pi \Rightarrow t = \frac{\pi}{4\pi} = \frac{1}{4}\]
\[4\pi t = 2\pi \Rightarrow t = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}\]
\[4\pi t = 3\pi \Rightarrow t = \frac{3\pi}{4\pi} = \frac{3}{4}\]

Теперь у нас есть моменты времени, при которых груз снова находится в начальной позиции (\(x = 0\)). Чтобы найти длину пути, пройденную грузом за одну минуту, нам нужно вычислить разность координат между последним и первым моментами времени.

\[L = x_{\text{последнего момента}} - x_{\text{первого момента}}\]

На последнем моменте времени (когда \(t = 1\)) координата груза равна:
\[x_{\text{последнего момента}} = 0,4\sin(4\pi \cdot 1) = 0,4\sin(4\pi) = 0,4\sin(2\pi) = 0\]

На первом моменте времени (когда \(t = 0\)) координата груза равна:
\[x_{\text{первого момента}} = 0,4\sin(4\pi \cdot 0) = 0,4\sin(0) = 0\]

Подставим значения координат в нашу формулу, чтобы найти длину пути:
\[L = 0 - 0 = 0\]

Таким образом, длина пути груза, укрепленного на пружине и движущегося по закону \(x = 0,4\sin(4\pi t)\), за одну минуту равна 0. Никакого фактического перемещения груза не происходит за этот промежуток времени.

Если вам нужны еще пояснения или чертеж, я могу предоставить их по вашему запросу.