Какова длина стороны ad в четырехугольнике abcd, вписанном в окружность с точкой пересечения продолжений сторон ab

Magiya_Zvezd_3425

38

Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему степени точки, которая говорит о том, что если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведение длин отрезков каждой хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Давайте обозначим длину отрезка \(pd\) как \(x\). Тогда длина отрезка \(cd\) будет равна \(6 + x\). Также известно, что длина отрезка \(ab\) равна 12, а длина отрезка \(bc\) равна 5.

Применим теорему степени точки: \(ab \times bc = cd \times dp\). Подставив известные значения, получим \(12 \times 5 = (6 + x) \times x\).

Теперь решим полученное уравнение. Умножим значения в скобках: \(60 = 6x + x^2\). Приведем уравнение к стандартному виду: \(x^2 + 6x - 60 = 0\).

Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 6\), и \(c = -60\). Вычислим дискриминант: \(D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 36 + 240 = 276\).

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня. Для их нахождения воспользуемся формулой: \(x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\).

Подставим значения: \(x = \frac{{-6 \pm \sqrt{276}}}{{2 \cdot 1}}\). Вычислим корни с помощью калькулятора или программы: \(x_1 \approx -11.654\) и \(x_2 \approx 5.654\).

Так как длина стороны не может быть отрицательной, отбросим отрицательное значение и получим, что \(x \approx 5.654\).

Таким образом, длина отрезка \(ad\) примерно равна 5.654 единицы длины.