Какова длина стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды, если угол при вершине пирамиды равен 60° и объем

Пингвин

68

Чтобы найти длину стороны основания правильной четырехугольной пирамиды, нам понадобится использовать формулу для объема пирамиды и знание о связи между углом при вершине и высотой пирамиды.

Формула для объема пирамиды выглядит следующим образом:
\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h,\]
где \(V\) - объем пирамиды, \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды.

Для правильной четырехугольной пирамиды сторона основания является равносторонним треугольником, и площадь основания можно найти с помощью формулы:
\[S_{\text{осн}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4},\]
где \(a\) - длина стороны основания.

Для нахождения высоты пирамиды мы можем использовать связь между углом при вершине пирамиды и высотой. Угол при вершине разбивает высоту на две равные половины, поэтому получаем:
\[h = \frac{a\sqrt{3}}{2}.\]

Теперь мы можем записать уравнение для объема пирамиды, используя известные значения:
\[36\sqrt{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}.\]

Для удобства дальнейших вычислений, приведем это уравнение к более простому виду:
\[36\sqrt{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{24}.\]

Для избавления от корней, возьмем квадрат обеих частей уравнения:
\[(36\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a^3\sqrt{3}}{24}\right)^2.\]

Приведем это к виду без корней и решим уравнение:
\[2(36)^2 = \frac{3a^6}{24^2}.\]
\[2592 = \frac{a^6}{576}.\]

Умножим обе части уравнения на 576, чтобы избавиться от дроби:
\[2592 \cdot 576 = a^6.\]

Возведем обе части уравнения в шестую степень, чтобы найти длину стороны основания:
\[a^6 = (2592 \cdot 576)^{\frac{1}{6}}.\]

Теперь найдем шестую степень справа:
\[a^6 = 6.\]

Чтобы найти \(a\), возведем обе части уравнения в \(\frac{1}{6}\) степень:
\[a = \sqrt[6]{6}.\]

Таким образом, длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна \(\sqrt[6]{6}\). Ответ округлим до трех знаков после запятой: \(a \approx 1.348\).