Какова длина стороны треугольника Abc, если ac=ab=24 и tgA = √(5/2)?

Zhuzha

27

Для начала давайте воспользуемся данными условиями и обозначим треугольник ABC на плоскости. Затем применим теорему синусов, которая гласит: "В треугольнике отношение длины каждой стороны к синусу противолежащего угла постоянно".

Используем данные условия и обозначим углы треугольника: угол A, угол B и угол C. Затем обозначим стороны треугольника: сторона AB, сторона BC и сторона AC.

Учитывая, что сторона AC равна стороне AB (по условию), мы можем обозначить их обоих как "a" в нашем уравнении.

Таким образом, у нас получается следующая система уравнений:

\[AC = a, AB = a, BC = c, tg(A) = \sqrt{\frac{5}{2}}\]

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

\[\frac{AC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(B)} = \frac{BC}{\sin(C)}\]

Из данного уравнения можно выразить угол B, зная все остальные значения:

\[\frac{AC}{\sin(A)} = \frac{AB}{\sin(B)} \implies \sin(B) = \frac{AB}{AC} \cdot \sin(A)\]

Заметим, что стороны AB и AC равны между собой:

\[\sin(B) = \sin(A)\]

Учитывая, что угол A составляет тангенс равный \(\sqrt{\frac{5}{2}}\), мы можем использовать свойства тригонометрии:

\[\sin(A) = \sqrt{1 - \cos^2(A)}\]

Теперь давайте выразим \(\cos(A)\):

\[\cos(A) = \sqrt{1 - \sin^2(A)} = \sqrt{1 - \left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Теперь мы знаем значения \(\sin(A)\) и \(\cos(A)\), поэтому можем рассчитать \(\sin(B)\):

\[\sin(B) = \sin(A) = \sqrt{\frac{1}{2}}\]

Зная значения \(\sin(B)\) и \(\frac{AB}{AC} = 1\) (так как стороны равны), мы можем рассчитать угол B, используя обратную функцию синуса:

\[\sin^{-1}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right) = B\]

Расчитаем значение угла B:

\[B \approx 45°\]

Теперь можем рассчитать значение угла C, так как сумма всех углов треугольника равна 180°:

\[C = 180° - A - B\]

\[C \approx 180° - 90° - 45° = 45°\]

Итак, мы получили, что углы B и C равны 45°.

Теперь воспользуемся определением тангенса угла B:

\[tg(B) = \frac{BC}{AB}\]

\[tg(B) = \frac{c}{a} = \sqrt{\frac{5}{2}}\]

Так как c = a (по условию), то можем рассчитать значение стороны треугольника:

\[\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{c}{a}\]

Учитывая, что c = a, то:

\[\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{a}{a} = 1\]

Таким образом, мы получаем, что a = 1.

Итак, длина стороны треугольника ABC, равная сторонам AB и AC, составляет 1.

В данной задаче длина стороны треугольника ABC составляет 1.